Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)

Материал из MachineLearning.

Версия 11:26, 20 февраля 2014

Курс знакомит студентов с основными задачами и методами прикладной статистики.

Цели курса — связать теорию и практику, научить студентов «видеть» статистические задачи в различных предметных областях и правильно применять методы прикладной статистики, показать на практических примерах возможности и ограничения статистических методов. Курс имеет скорее методологическую, чем математическую направленность и не содержит доказательств теорем.

Каждый метод описывается по единой схеме:

• постановка задачи;
• примеры прикладных задач из области экономики, социологии, производства, медицины;
• базовые предположения и границы применимости;
• описание метода (для методов проверки статистических гипотез: нулевая гипотеза и альтернативы, статистика, её функция распределения с эскизом графика, критическая область);
• достоинства, недостатки, ограничения, «подводные камни»;
• сравнение с другими методами.

Курс читается студентам 5 курса кафедры Математические методы прогнозирования ВМиК МГУ, начиная с 2007 года. Предполагается, что студенты уже прослушали курсы теории вероятностей и математической статистики, знакомы с элементами дискриминантного, факторного и кластерного анализа (по кафедральному курсу «Математические методы распознавания образов»), регрессионного анализа и анализа временных рядов (по кафедральному курсу ММП).

Программа курса

Введение

Обзор необходимых сведений из теории вероятностей и математической статистики.

• Понятия простой выборки и статистики. Примеры статистик: моменты, асимметрия и эксцесс, вариационный ряд и порядковые статистики, эмпирическое распределение.
• Статистические точечные оценки и их свойства: несмещённость, состоятельность, оптимальность, робастность.
• Интервальные оценки, понятия доверительного интервала и уровня доверия.
• Часто используемые распределения: нормальное, хи-квадрат, Фишера, Стьюдента, Бернулли, биномиальное, гипергеометрическое.
• Проверка статистических гипотез, основные понятия: уровень значимости, достигаемый уровень значимости (p-value), ошибки I и II рода. Односторонние и двусторонние альтернативы.
• Свойства достигаемых уровней значимости.
• Свойства критериев: несмещённость, состоятельность, равномерная мощность.

Материалы занятия

Параметрическая проверка гипотез

[Kanji, Кобзарь]

• Критерии нормальности: критерий хи-квадрат (Пирсона), Критерий Шапиро-Уилка, критерии, основанные на различиях между эмпирической и теоретической функциями распределения, критерий Колмогорова-Смирнова (Лиллиефорса). Упрощённая проверка нормальности по асимметрии и эксцессу: критерий Жарка-Бера.
• Нормальные параметрические критерии для проверки гипотез: гипотезы о положении, гипотезы о рассеивании [Лапач, §3.2]. Примеры прикладных задач.
• Гипотеза о равенстве средних: критерий Стьюдента для одной и двух выборок, Z-критерий для одной и двух выборок, связанные выборки
• Гипотеза о равенстве дисперсий: критерий Фишера.
• Гипотезы о значениях параметра распределения Бернулли: сравнение значения параметра с заданным, сравнение параметров распределений двух выборок (случаи парных и независимых выборок).
• Доверительный интервал для параметра распределения Бернулли: Вальда, Уилсона. Доверительный интервалы Уилсона для разности параметров двух выборок.

Материалы занятия

Непараметрическая проверка гипотез

[Кобзарь, Good, Wilcox]

• Критерии знаков: одновыборочный, для связных выборок.
• Вариационный ряд, ранги и связки.
• Ранговые критерии: критерий Уилкоксона-Манна-Уитни, критерий Уилкоксона двухвыборочный, критерий Уилкоксона для связных выборок, критерий Зигеля-Тьюки, WM-критерий.
• Перестановочные критерии. Проверка гипотез о положении (одновыборочный, для связных выборок, для независимых выборок), проверка гипотезы о рассеивании.
• Двухвыборочные критерии согласия: Колмогорова-Смирнова, Крамера-фон Мизеса (Андерсона).
• Функция сдвига и доверительные ленты для неё (независимые и связные выборки).

Материалы занятия

Множественная проверка гипотез

[Bretz]

• Множественная проверка гипотез. Примеры задач. Меры числа ошибок первого рода.
• FWER, поправка Бонферрони.
• Нисходящие процедуры множественной проверки: общий вид, метод Холма.
• Процедуры множественной проверки гипотез при наличии дополнительной информации о признаках: независимость, subset pivotality.
• Оценка числа верных нулевых гипотез и её применение.
• FDR, методы Бенджамини.

Материалы занятия

Последовательный анализ

[Вальд, Mukhopadhyay]

• Применение в задачах проверки гипотез о значениях параметра биномиального распределения: сравнение значения с заданным, сравнение двух значений.
• Применение в задачах проверки гипотез о значениях параметров нормального распределения: сравнение значения среднего с заданными (симметричный и несимметричный варианты), сравнение значения дисперсии с заданным.
• Последовательные доверительные интервалы для среднего нормальной совокупности с неизвестной дисперсией (двухэтапная, последовательная процедуры). Процедуры для разности средних двух нормальных совокупностей, случаи равных и неравных дисперсий.
• Непараметрические последовательные доверительные интервалы для среднего и медианы.

Материалы занятия

Дисперсионный анализ (ANOVA)

[Лапач, 193].

• Однофакторная модель: критерии Фишера, Краскела-Уоллиса, Джонкхиера.
• Модель со случайным эффектом, разделение дисперсии.
• Модель с фиксированным эффектом, уточнение различий: методы LSD и HSD, критерий Неменьи.
• Проверка гипотезы о равенстве дисперсий: критерии Бартлета и квадратов рангов.
• Двухфакторная модель. Взаимодействие факторов, его интерпретация. Иерархический дизайн.
• Двухфакторный нормальный анализ.
• Двухфакторная непараметрическая модель: критерий Фридмана, критерий Пейджа.

Материалы занятия

Анализ зависимостей

[Лапач, 174, 204, 316, Лагутин, Т2:174].

• Корреляция Пирсона. Значимость коэффициента корреляции: критерий Стьюдента, перестановочный критерий.
• Ранговая корреляция: коэффициент корреляции Спирмена, коэффициент корреляции Кенделла, их значимость. Связь коэффициентов корреляции.
• Частная корреляция, значимость коэффициента частной корреляции (критерий Стьюдента).
• Множественная корреляция, значимость коэффициента множественной корреляции (критерий Фишера).
• Таблица сопряженности 2×2. Проверка гипотезы независимости бинарных величин: критерий хи-квадрат, точный критерий Фишера, критерий Мак-Нимара. Коэффициент корреляции Мэтьюса.
• Парадокс хи-квадрат.

Материалы занятия

Линейный регрессионный анализ

[Дрейпер, Wooldridge]

• Многомерная линейная регрессия. Примеры прикладных задач. Метод наименьших квадратов.
• Несимметричность решения задачи одномерной регрессии относительно признака и отклика, связь с коэффициентом корреляции. Остаточная сумма квадратов (RSS). Коэффициент детерминации
• Предположения Гаусса-Маркова. Статистические свойства МНК-оценок в отсутствие предположения нормальности.
• Факторы, влияющие на дисперсию оценок коэффициентов модели. Мультиколлинеарность.
• Кодирование нечисловых признаков, фиктивные переменные. Dummy- и deviation-кодирование.
• Статистические свойства МНК-оценок при добавлении предположения нормальности. Доверительные интервалы для дисперсии шума, коэффициентов регрессии, прогнозируемого значения отклика.
• Анализ структуры линейной регрессионной модели. Значимость коэффициентов линейной регрессии: проверка равенства коэффициентов нулю и константе, вложенные модели линейной регрессии, критерий Фишера, запись критерия Фишера через коэффициент детерминации. Связь между критериями Фишера и Стьюдента. Пошаговая регрессия. Эксперимент Фридмана.
• Сравнение невложенных моделей: приведённый коэффициент детерминации, критерий Давидсона-Маккиннона.
• Анализ регрессионных остатков: визуальный анализ, проверка гипотез несмещённости, гомоскедастичности (критерии Бройша-Пагана), нормальности.
• Обработка пропусков и выбросов. Расстояние Кука.
• Метод Бокса-Кокса для преобразования отклика. Доверительный интервал для параметра метода.
• Проверка общей линейной гипотезы.
• Нелинейная регрессия. Построение совместной доверительной области для параметров модели. Приближённая проверка адекватности модели по чистой ошибке.
• Проблема мультиколлинеарности. Методы понижения размерности: ридж-регрессия, лассо Тибширани, эластичная сеть. Выбор параметра регуляризации.

Материалы занятий: часть 1, часть 2, часть 3, пример решения задачи.

Логистическая регрессия

[Hosmer]

• Постановка задачи логистической регрессии, повторяемый эксперимент с фиксированными уровнями фактора, неповторяемый эксперимент со случайными уровнями фактора. Логит, его интерпретация. Интерпретация коэффициентов логистической регрессии (бинарный, количественный признак).
• Оценка параметров модели методом максимального правдоподобия. Возможные причины отсутствия сходимости.
• Анализ модели логистической регрессии: оценка значимости коэффициентов (критерий Вальда), построение доверительных интервалов, остатки Пирсона, проверка линейности логита по признаку, признаки мультиколлинеарности.
• Классификация на основе логистической регрессии: чувствительность, специфичность, выбор порога.

Материалы занятия

Анализ временных рядов

[Shumway, Hyndman, Лукашин, Kirchgassner]

• Временной ряд. Основные компоненты эконометрических временных рядов: тренд, сезонность, календарные эффекты.
• Анализ остатков. Автокорреляционная функция. Коррелограмма и её интерпретация. Проверка гипотезы о равенстве нулю автокорреляции и группы автокорреляций (критерий Льюнга-Бокса). Проверка гипотезы стационарности (критерий KPSS).
• Модели AR, MA, ARMA. Частичная автокорреляция. Подбор параметров модели по коррелограммам. Переход к ряду разностей, модель ARIMA.
• Информационные критерии сравнения моделей.
• Сезонные эффекты и модели их учёта: SARMA, SARIMA.
• Учёт дополнительных признаков, модель regARIMA. Схема настройки параметров модели.
• Адаптивные алгоритмы краткосрочного прогнозирования. Модели тренда, сезонность. Запись с помощью пространства состояний. Оценка параметров модели.
• Обнаружение структурных изменений. Критерий Чоу.
• Меры качества прогнозов, примеры оценок. Информационные критерии. U-коэффициент Тейла.
• Сравнение качества двух прогнозов. Непараметрические критерии, критерий Диболда-Мариано, его модификация для маленьких выборок.
• Сравнение качества нескольких прогнозов. Reality check Уайта, модификация Романо-Вольфа.
• Причинность по Грейнджеру. Критерий Грейнджера (для двух рядов, для множества рядов).
• Адаптивная селекция моделей прогнозирования.
• Адаптивная композиция моделей прогнозирования.

Материалы занятий: часть 1, часть 3.

Анализ выживаемости

• Анализ выживаемости. Функция выживаемости и функция интенсивности рисков. Процедура Каплана-Мейера. Доверительный интервал выживаемости.
• Сравнение двух функций выживаемости: логранговый критерий, критерий Гехана.

Анализ панельных данных

[Магнус]

• Примеры эконометрических задач: анализ стран, фирм, домашних хозяйств, телезрителей.
• Объединённая модель панельных данных.
• Модель панельных данных с фиксированными эффектами.
• Модель панельных данных со случайными эффектами.
• Модель панельных данных с временны́ми эффектами.
• Модель несвязанных регрессий.
• Проблема выбора модели: F-тест Фишера, критерий множителей Лагранжа, критерий Хаусмана.
• Ротационная панель.

Литература

1. Лапач С.Н. , Чубенко А.В., Бабич П.Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
2. Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
3. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.
4. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
5. Hastie, T., Tibshirani, R., Friedman, J. The Elements of Statistical Learning, 2nd edition. — Springer, 2009. — 533 p.  (подробнее)
6. Kanji G.K. 100 statistical tests. — London: SAGE Publications, 2006.
7. Good P. Permutation, Parametric and Bootstrap Tests of Hypotheses: A Practical Guide to Resampling Methods for Testing Hypotheses. — New York: Springer, 2005.
8. Wilcox R.R. Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing. — Academic Press, 2012.
9. Bretz F., Hothorn T., Westfall P. Multiple Comparisons Using R. — Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2010.
10. Дрейпер Н.Р., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2007.
11. Wooldridge J. Introductory Econometrics: A Modern Approach. — Mason: South-Western Cengage Learning, 2013.
12. Hosmer D.W., Lemeshow S. Applied Logistic Regression. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2013.
13. Shumway R.H, Stoffer D.S. Time Series Analysis and Its Applications with R Examples. — New York: Springer, 2011.
14. Hyndman R.J., Koehler A.B., Ord J.K., Snyder R.D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. — Berlin: Springer, 2008.
15. Kirchgassner G., Wolters J., Hassler U. Introduction to modern time series analysis. — Heidelberg: Springer, 2013.
16. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 7-е изд., испр. — М.: Дело, 2005.
17. Вальд А. Последовательный анализ. — М.: Физматлит, 1960.
18. Mukhopadhyay N., de Silva B. M. Sequential methods and their applications. — Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2009.

Ссылки

• Википедия: Проверка статистических гипотез
• Википедия: Статистический критерий
• Статистический Портал StatSoft
• Электронный статистический словарь StatSoft

Подстраницы

• Практические задания для студентов каф. ММП ВМК (2013 год)
• Практические задания для студентов ФУПМ МФТИ (2014 год)