Доверительный интервал
Материал из MachineLearning.
Доверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью.
Содержание |
Определение
Пусть - выборка из некоторого распределения с плотностью
, зависящей от параметра
, который может изменяться в интервале
. Пусть
- некоторая статистика и
- функция распределения случайной величины
, когда выборка
имеет распределение с плотностью
. Предположим, что
есть убывающая функция от параметра
. Обозначим
квантиль распределения
, тогда
есть возрастающая функция от
. Зафиксируем близкое к нулю положительное число
(например, 0,05 или 0,01).
Пусть
. При каждом
неравенства
выполняются с вероятностью , близкой к единице. Перепишем неравенства (1) в другом виде:
Обозначим ,
и запишем (2) в следующем виде:
Интервал называется доверительным интервалом для параметра
, а вероятность
- доверительной вероятностью.
Примеры
Пусть выборка взята из нормального распределения с параметрами .
Доверительный интервал для при известном
:
где - квантиль нормального распределения.
Доверительный интервал для при неизвестном
:
где ,
- квантиль распределения
,
- функция распределения Стьюдента с
степенями свободы.
См. также
Литература
- Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.