Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2014/1

Материал из MachineLearning.

Версия от 20:35, 24 февраля 2015; Riabenko (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Ниже под обозначением $X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,b\right]$ понимается выборка объёма $n$ из смеси нормального $N(\mu,\sigma^2)$ и равномерного $U\left[-a,b\right]$ распределений с весами $p$ и $1-p$ соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $p$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из равномерного).

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого критерия.

$X^n, \;\; X\sim Ber(p);$
$H_0\,:\, p=\frac{1}{2},$
$H_1\,:\, p\neq\frac{1}{2};$
$p=0.01\,:\,0.01\,:\,0.99, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

сравнить z-критерий и точный критерий для доли.

сравнить критерии, основанные на доверительных интервалах Вальда и Уилсона (нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости 5%, если 95% доверительный интервал для параметра не содержит $\frac{1}{2}$ ).

$X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma);$
$H_0\,:$ среднее значение $X$ равно нулю,
$H_1\,:$ среднее значение $X$ не равно нулю;
$\mu=-2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

сравнить одновыборочные t- и z-критерии.

сравнить одновыборочный t-критерий и критерий знаковых рангов Уилкоксона.

сравнить критерий знаковых рангов Уилкоксона и одновыборочный перестановочный критерий (использовать функцию oneSamplePermutationTest из пакета EnvStats).

$X_1^{n}, \;\; X_{1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\;\;X_2^{n}, \;\; X_{2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);$
$H_0\,:$ средние выборок равны, $\;H_1\,:$ средние выборок не равны;
$\mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.$

Калиновский: $\mu_2=-2\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$ Сравнить критерий Стьюдента для неизвестных равных дисперсий и версию Аспина-Уэлша для неизвестных неравных дисперсий.

$X_1^n, \;\; X_{1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\;\;X_2^n, \;\; X_{2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);$
$H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},$
$H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2};$
$\mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.$

$\mu_2=0, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$ Сравнить критерий Фишера и критерий Ансари-Брэдли.

$\mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=50.$ Сравнить критерий Ансари-Брэдли и критерий Зигеля-Тьюки.

$\mu_2=0\,:\,0.05\,:\,5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=20.$ Сравнить критерий Фишера и критерий Зигеля-Тьюки.

$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a,a\right];$
$H_0\,:\; X \sim N,$
$H_1\,:\; H_0$ неверна;
$n=10\,:\,5\,:\,100.$

$a=1, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1.$ Сравнить критерий Шапиро-Уилка и критерий Лиллиефорса.

$a=2, \;\; p=0\,:\,0.02\,:\,1.$ Сравнить критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса и критерий Жарка-Бера.

$a=0.5\,:\,0.1\,:\,5, \;\; p=0.25.$ Сравнить критерий Лиллиефорса и критерий хи-квадрат.

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.

Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-a+\mu,a+\mu\right];$
$H_0\,:\; \mathbb{E}X=0$
$H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0.$

$\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0.8, \;\; a=1, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.$

$\mu=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=10, \;\; n=5\,:\,5\,:\,150.$

$\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=1, \;\; n=100.$

$\mu=0.5, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=0.1\,:\,0.1\,:\,5, \;\; n=100.$

Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
$X_1^n, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot U\left[-a,a\right], \;\; X_2^n,\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot U\left[-a,a\right];$
$H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},$
$H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2};$
$\sigma_1=2, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.05\,:\,4.$

$p_1=p_2=0.8, \;\; a=2, \;\; n=15\,:\,5\,:\,200.$

$p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; a=3, \;\; n=100.$

Двухвыборочный t-критерий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
$X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(0,1), \;\; X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu,\sigma^2);$
$H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1} = \mathbb{E}X_{2},$
$H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1} \neq \mathbb{E}X_{2}.$