Взвешенное среднее Тьюки

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск
Один шаг вычисления взвешенного среднего Тьюки
Один шаг вычисления взвешенного среднего Тьюки

Взвешенное среднее Тьюки — оценка среднего значения выборки, устойчивая к наличию выбросов. Алгоритм вычисления оценки носит итерационный характер. До достижения сходимости повторяются следующие шаги:

  1. Вычисляется оценка среднего значения выборки (в начала работы алгоритма — обычная медиана).
  2. Определяются расстояния от вычисленного среднего до каждого элемента выборки. Согласно этим расстояниям, элементам выборки присваиваются различные веса, с учётом которых среднее значение пересчитывается. Характер весовой функции таков, что наблюдения, отстоящие от среднего достаточно далеко, не вносят большого вклада в значение взвешенного среднего.

Часто используют только одну итерацию вычисления оценки.

Содержание

Одношаговый метод вычисления оценки[1]

Пусть имеется выборка x=\left\{x_1,\ldots,x_n\right\}. По ней рассчитывается медиана M, затем для каждого наблюдения — модуль его отклонения от медианы. Величина S — медиана выборки \left\{\left|x_1-M\right|,\ldots,\left|x_n-M\right|\right\} — называется абсолютным отклонением среднего (англ. Median Absolute Deviation, MAD) и является мерой вариации выборки.

Для каждого элемента выборки x_i вычисляется отклонение от среднего: u_i=\frac{x_i-M}{cS+\eps}, \:\: i=1,\ldots,n, где c — параметр, от которого зависит чувствительность к отклонениям от среднего, \eps — малая постоянная величина, назначение которой — исключить возможность деления на ноль.

Для взвешивания используется биквадратичная функция: w\left(u\right)=\left\{ \left(1-u^2\right)^2, \:\: \left|u\right| \leq 1, \\ 0, \:\:\: \left|u\right|>1. \right.

Итоговое значение среднего вычисляется по следующей формуле:

T_{bi}=\frac{\sum_i w\left(u_i\right)x_i}{\sum_i w\left(u_i\right)}.

Дополнительное преимущество алгоритма - возможность рассчитать доверительный интервал для оценки при помощи приближения распределением Стьюдента. Симметричный (1-\alpha)% доверительный интервал даётся формулой

T_{bi}\pm t_{df}^{(1-\alpha/2)} \cdot\frac{S_{bi}}{\sqrt{n}},\:\:\: S_{bi} = \sqrt{n}\cdot \frac {\sqrt{ \sum_{\left|u_i\right|\leq 1} \left(x_i-T_{bi}\right)^2 \left(1-u^2 \right)^4 } } { \left| \sum_{\left|u_i\right|\leq 1} \left(1-u_i^2\right) \left(1-5u_i^2\right) \right| },

где t_{df}^{(1-\alpha/2)} - \left(1-\alpha/2\right)-квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы df=\max\left(0.7*(n-1),1\right).

Итерационный метод вычисления оценки

Литература

Hoaglin, D.C., Mosteller, F., Tukey, J.W. Understanding Robust and Exploratory Data Analysis. John Wiley & Sons, New York (2000).

Примечания

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D0%BA%D0%B8»
Личные инструменты