Критерий Бартлетта

Материал из MachineLearning.

Версия от 07:44, 11 января 2009; Юлия Власова (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Критерий Бартлета позволяет проверять равенство дисперсий нескольких выборок. При этом объемы выборок могут быть различными. Критерий Бартлетта очень чувствителен к нарушению предположения о нормальности.

Описание критерия

Имеется $k$ выборок $x^{n_1}_1, . . . , x^{n_k}_k$ объемом $n_i$ ( $i=1,...,k$ ) каждая. Дисперсии выборок и выборочные оценки дисперсий обозначим через $\sigma_i^2$ и $s_i^2$ соответственно.

Дополнительные предположения

Выборки $x^{n_1}_1, . . . , x^{n_k}_k$ являются нормальными. Критерий Бартлетта очень чувствителен к отклонениям от нормальности распределения исследуемых случайных величин. Если нет уверенности в нормальности распределения, им не рекомендуется пользоваться.

Нулевая гипотеза

Критерий Бартлетта проверяет гипотезу $H_0$ о том, что дисперсии всех $k$ выборок одинаковы.

$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = . . . = \sigma_k^2$

Альтернативная гипотеза $H_1$ : существует, по крайней мере, две выборки $i$ и $j$ ( $i \neq j$ ) с несовпадающими дисперсиями.

$H_1: \sigma_i^2 \neq \sigma_j^2$ (для некоторых $i \neq j$ ).

Статистика критерия Бартлетта

Статистика критерия Бартлетта вычисляется в соответствии с соотношением:

$T = \frac{M}{c}$ .

Здесь

$M = (N-k) \cdot \ln(s^2_p) - \sum_{i=1}^k (n_i - 1) \cdot \ln(s^2_i)$ ,

$c = 1 + \frac{1}{3\cdot (k-1)} \cdot \left(\sum_{i=1}^k \left(\frac{1}{n_i-1} \right) - \frac{1}{(N-k)} \right)$ ,

где $N = \sum_{i=1}^k n_i$ и $s^2_p = \frac{1}{ N-k } \sum_{i=1}^k (n_i - 1) \cdot s^2_i$ – суммарная оценка дисперсий.

При $n_i > 3 (i=1,...,k)$ и справедливости нулевой гипотезы статистика критерия Бартлетта имеет распределение $\chi_{k-1}^2$ хи-квадрат с (k-1) степенями свободы.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ )

Если $T > \chi_{k-1, \alpha}^2$ , то с достоверностью $\alpha$ нулевая гипотеза $H_0$ отвергается в пользу альтернативы $H_1$ .

Примечание

При отклонении от нормальности рекомендуется вместо статистики $T$ пользоваться ее модификацией:

$T^* = \frac{f_2 \cdot M}{f_1 \cdot \left(\frac{f_2^2}{f_2 (2-c) + c} - M \right)}$ ,

где $f_1 = k-1$ , $f_2 = \frac{k+1}{(c-1)^2}$ .

Статистика $T^*$ имеет $F$ -распределение с $f_1$ и $f_2$ степенями свободы. Поэтому нулевую гипотезу следует отклонить, если $T^* > F_{\alpha}(f_1, f_2)$ .