Распределение Стьюдента

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: {{Вероятностное распределение | name =Распределение Стьюдента| type =Плотность| pdf_image =[[Файл:Student ...)
(категория)
Строка 68: Строка 68:
Распределение Стьюдента используется в [[Статистика|статистике]] для [[Точечная оценка|точечного оценивания]], построения [[Доверительный интервал|доверительных интервалов]] и [[Статистическая гипотеза|тестирования гипотез]], касающихся неизвестного [[Математическое ожидание|среднего]] статистической [[Выборка|выборки]] из нормального распределения. В частности, пусть <tex>X_1,\ldots, X_n</tex> независимые случайные величины, такие что <tex>X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n</tex>. Обозначим <tex>\bar{X}</tex> [[выборочное среднее]] этой выборки, а <tex>S^2</tex> её [[Выборочная дисперсия|выборочную дисперсию]]. Тогда
Распределение Стьюдента используется в [[Статистика|статистике]] для [[Точечная оценка|точечного оценивания]], построения [[Доверительный интервал|доверительных интервалов]] и [[Статистическая гипотеза|тестирования гипотез]], касающихся неизвестного [[Математическое ожидание|среднего]] статистической [[Выборка|выборки]] из нормального распределения. В частности, пусть <tex>X_1,\ldots, X_n</tex> независимые случайные величины, такие что <tex>X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n</tex>. Обозначим <tex>\bar{X}</tex> [[выборочное среднее]] этой выборки, а <tex>S^2</tex> её [[Выборочная дисперсия|выборочную дисперсию]]. Тогда
: <tex>\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1)</tex>.
: <tex>\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1)</tex>.
 +
 +
[[Категория:Вероятностные распределения]]

Версия 15:06, 19 ноября 2009

Распределение Стьюдента
Плотность вероятности
325px
Функция распределения
325px
Параметры n > 0\! - число степеней свободы
Носитель x \in (-\infty; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{\Gamma((n+1)/2)} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)\,(1+x^2/n)^{(n+1)/2}}\!
Функция распределения \frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( (n+1)/2 \right)}{\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)} \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},(n+1)/2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{n} \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)} где \,_2F_1 - гипергеометрическая функция
Математическое ожидание 0
Медиана 0
Мода 0
Дисперсия \frac{n}{n-2}\! если n>2
Коэффициент асимметрии 0 если n>3
Коэффициент эксцесса \frac{3n - 6}{n-4}\! где n>4
Информационная энтропия \begin{matrix} </p> <pre> \frac{n+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+n}{2}) - \psi(\frac{n}{2}) \right] \\[0.5em] </pre> <p>+ \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}

Производящая функция моментов не определена
Характеристическая функция


Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Содержание

[убрать]

Определение

Пусть Y_0,Y_1,\ldots, Y_n — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что Y_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=1,\ldots, n. Тогда распределение случайной величины t, где

t = \frac{Y_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i^2}}

называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. Пишут t \sim \mathrm{t}(n). Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

f_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi n} \, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\, \left(1+\frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}},

где \Gamma — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента

  • Распределение Стьюдента симметрично. В частности если t \sim \mathrm{t}(n), то
-t \sim \mathrm{t}(n).

Моменты

Случайная величина t \sim \mathrm{t}(n) имеет только моменты порядков k < n, причём

\mathbb{E}\left[t^k\right] = 0, если k нечётно;
\mathbb{E}\left[t^k\right] = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{n-k}{2})n^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} , если k чётно.

В частности,

\mathbb{E}[t] = 0,
\mathrm{D}[t] = {n \over n - 2}, если n > 2 .

Моменты порядков k \ge n не определены.

Связь с другими распределениями

\mathrm{t}(1) \equiv \mathrm{C}(0,1) .
  • Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при n \to \infty. Пусть дана последовательность случайных величин \{t_n\}_{n=1}^{\infty}, где t_n \sim \mathrm{t}(n),\; n \in \mathbb{N}. Тогда
t_n \to \mathrm{N}(0,1) по распределению при n \to \infty.
t^2 \sim \mathrm{F}(0,n).

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть X_1,\ldots, X_n независимые случайные величины, такие что X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n. Обозначим \bar{X} выборочное среднее этой выборки, а S^2 её выборочную дисперсию. Тогда

\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim \mathrm{t}(n-1).
Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0»
Личные инструменты