Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2009

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Задание 1. Исследование статистических критериев на модельных данных
- 1.1 Пример выполнения задания
- 1.2 Индивидуальные параметры задания
2 Задание 2. Анализ реальных данных
3 Задание 3. Написание или доработка wiki-статей

Задание 1. Исследование статистических критериев на модельных данных

Необходимо провести исследование одного из классических критериев проверки статистических гипотез. Интерес представляет поведение достигаемого уровня значимости (p-value) как функции размера выборок и параметров распределения. В соответствии с индивидуальными параметрами задания необходимо сгенерировать одну или несколько выборок из указанного распределения, выполнить проверку гипотезы при помощи соответствующего критерия, а затем многократно повторить эту процедуру для различных значений параметров. При этом, в зависимости от индивидуальных особенностей задания, выборки могут как генерироваться заново для каждого значения объёма выборки $n$ , так и образовываться путём добавления одного элемента к уже имеющейся выборке объёма $n-1$ . По результатам расчётов необходимо построить следующие графики:

график зависимости достигаемого уровня значимости от значений параметров при однократном проведении эксперимента (1 балл);
график зависимости достигаемого уровня значимости от значений параметров, усреднённого по нескольким десяткам экспериментов (+1 балл);
график с эмпирическими оценками мощности критерия для разных значений параметров (+1 балл).

В качестве оценки мощности принимается доля отвержений нулевой гипотезы среди всех проверок. То есть, если эксперимент повторялся $k$ раз для каждого набора значений параметра, и в $m$ из $k$ случаев гипотеза была отвергнута на некотором фиксированном уровне значимости $\alpha$ (примем $\alpha=0.05$ ), оценкой мощности будет отношение $m/k$ .

Необходимо сдать: выполненный в LaTex или Microsoft Word отчёт с описанием алгоритма, построенными графиками и выводами (объяснение полученных результатов моделирования, границы применимости критерия и т.д.), а также *.m-файл.

Пример выполнения задания

Исследуем поведение классического двухвыборочного критерия Стьюдента для проверки гипотезы однородности против альтернативы сдвига. $x^n = (x_1,\ldots,x_n)\sim N(\mu_1,\sigma),\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n)\sim N(\mu_2,\sigma);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2,$

$H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2.$

Параметры задачи принимают следующие значения:

$\sigma = 1; \;\;\; \mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

При каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

График значений достигаемого уровня значимости при однократной генерации выборок:

График значений достигаемого уровня значимости, усрёднённых по 100 экспериментам:

График значений эмпирических оценок мощности критерия при проведении 100 экспериментов:

Индивидуальные параметры задания

Одновыборочный критерий Стьюдента

$x^n \sim N(\mu,1);$

$H_0\,:\; \mu=0, \;\; H_1\,:\; \mu\neq 0;$

$\mu=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Безродный Богдан

При каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Двойнев Александр

При каждом значении $\mu$ выборка $x^n$ получается из $x^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Двухвыборочный критерий Стьюдента для независимых выборок

$x^n \sim N(\mu_1,\sigma_1),\;\; y^n \sim N(\mu_2,\sigma_2);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$

$n=5\,:\,1\,:\,50.$

Коликова Екатерина

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; \sigma_1=\sigma_2=1;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Черняев Константин

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; \sigma_1=\sigma_2=1;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Задонский Дмитрий

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; \sigma_1=1;\;\;\sigma_2=2;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Ломакин Василий

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; \sigma_1=1;\;\;\sigma_2=2;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Гуков Алексей

$\mu_1=\mu_2=0; \;\;\; \sigma_1=1;\;\;\sigma_2=0.1\,:\,0.1\,:\,4;$ при каждом значении $\sigma_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Решетняк Илья

$\mu_1=\mu_2=0; \;\;\; \sigma_1=1;\;\;\sigma_2=0.1\,:\,0.1\,:\,4;$ при каждом значении $\sigma_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Двухвыборочный критерий Стьюдента для связных выборок (случай парных повторных наблюдений)

$x^n \sim N(\mu_1,1),\;\; y^n \sim N(\mu_2,1);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Дзыба Дмитрий

При каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Осокин Антон

При каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Одновыборочный критерий Уилкоксона

$x^n \sim F(\mu);$

$H_0\,:\; \mu=0, \;\; H_1\,:\; \mu\neq 0;$

$\mu=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Задонский Максим

$F(\mu)=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Карпинская Алина

$F(\mu)=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu$ выборка $x^n$ получается из $x^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Нарышкин Андрей

$F(\mu)=U[\mu-3,\mu];$ при каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Вишняков Святослав

$F(\mu)=U[\mu-3,\mu];$ при каждом значении $\mu$ выборка $x^n$ получается из $x^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Двухвыборочный критерий Уилкоксона для связных выборок (случай парных повторных наблюдений)

$x^n \sim F(\mu_1),\;\; y^n \sim F(\mu_2);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Гикал Александр

$F=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Ломакина-Румянцева Екатерина

$F=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Джумабекова Айнагуль

$F=U[0,\mu+1];$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Мягков Артем

$F=U[0,\mu+1];$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Критерий Краскелла-Уоллиса для независимых выборок

$x^n \sim F(\mu_1),\;\; y^n \sim F(\mu_2);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Ахламченкова Ольга

$F=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Голодов Валентин

$F=U[0,\mu+1];$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Алимбаев Данияр

Критерий Колмогорова-Смирнова для проверки нормальности

$x^n$ - смесь распределений $N(0,1)$ и $U[-\mu,\mu]$ с весами $\alpha$ и $1-\alpha$ соответственно. При генерации выборки используется случайный датчик - если его значение не превосходит $\alpha$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе - элемент, взятый из равномерного;

$H_0\,:\; x^n\sim \cdot N(0,1), \;\; H_1\,:\; F_n(x)\neq N(0,1);$

$\alpha=0\,:\,0,02\,:\,1; \;\;\; n=10\,:\,5\,:\,250.$ При каждом значении параметров выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Толстихин Илья

$\mu=1.$

Янгиров Ильдар

$\mu=2.$

Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки нормальности

$H_0\,:\; x^n\sim \cdot N(0,1), \;\; H_1\,:\; F_n(x)\neq N(0,1);$

Дерябин Василий

$\mu=1.$

Одинокова Евгения

$\mu=2.$

F-критерий Фишера для проверки равенства дисперсий

$x^n \sim N(0,\sigma_1),\;\; y^n \sim N(\mu,\sigma_2);$

$H_0\,:\; \sigma_1=\sigma_2, \;\; H_1\,:\; \sigma_1\neq \sigma_2;$

$n=5\,:\,1\,:\,50.$

Аманжолов Рустем

$\mu=0; \;\;\; \sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.1\,:\,4;$ при каждом значении $\sigma_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Пасконова Ольга

$\mu=0; \;\;\; \sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.1\,:\,4;$ при каждом значении $\sigma_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Гордеев Дмитрий

$\sigma_1=\sigma_2=1; \;\;\; \mu=0\,:\,0,05\,:\,3;$ при каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Найденов Никита

$\sigma_1=\sigma_2=1; \;\;\; \mu=0\,:\,0,05\,:\,3;$ при каждом значении $\mu$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Задание 2. Анализ реальных данных

Ниже приведены описания анализируемых данных и постановки задач. Сами данные каждый студент может получить по электронной почте сразу после сдачи первого задания. При проведении анализа можно пользоваться любыми доступными программными средствами. Необходимо предоставить подробный письменный отчёт по проведённому исследованию, содержащий выводы и описания каждого этапа анализа - используемые методы, обоснование их применимости, промежуточные результаты вычислений, графики. Помимо выводов, касающихся математических особенностей решения, необходимо включить в отчёт заключения, сформулированные в терминах предметной области, которые могли бы быть понятны гипотетическому заказчику-нематематику.

Интеллект и размер головного мозга

Исследование проводилось среди студентов психологического факультета крупного университета. Все испытуемые должны были быть правшами, а также не иметь повреждений мозга, эпилепсии, алкоголизма и сердечных заболеваний. Участники предварительного этапа эксперимента прошли несколько IQ-тестов, после чего для дальнейшего участия было отобрано 20 мужчин и 20 женщин, имевших коэффициент интеллекта либо ниже 103, либо выше 130 баллов. Для каждого из отобранных при помощи магнитно-резонансной томографии были получены 18 снимков срезов головного мозга, и общее количество пикселей на всех 18 снимках было принято в качестве меры объёма мозга. Помимо этого, были собраны данные о росте и массе тела испытуемых.

Толстихин Илья

Проверить наличие взаимосвязи между интеллектом и объёмом головного мозга для всех испытуемых, независимо от пола, затем провести аналогичный анализ отдельно для мужчин и женщин.

Осокин Антон

Проанализировать, какие из факторов значимо влияют на объём головного мозга. Проверить, по какой из двух групп факторов можно предсказывать объём головного мозга с большей уверенностью - по результатам тестов интеллекта, или по полу, росту и весу.

Продолжительность жизни больных онкологическими заболеваниями

Выборка состоит из 64 пациентов, у которых был диагностирован неизлечимый рак какого-либо органа. Всем им в качестве поддерживающей терапии был назначен к приёму витамин C (считалось, что он может способствовать выздоровлению раковых больных). Приведены данные об остаточной продолжительности жизни пациентов в днях.

Черняев Константин

Требуется проверить, отличается ли остаточная продолжительность жизни в зависимости от того, какой орган поражён раковой опухолью. Оценить остаточную продолжительность жизни в каждой из групп (построить точечные, интервальные оценки).

Внешний вид и привлекательность самок мечехвостов

Изучалось влияние внешних характеристик самок морских ракообразных мечехвостов на их привлекательность для самцов. Выборка состоит из данных о наблюдениях над 173 особями и содержит закодированные данные о размере самок, их весе, цвете, состоянии панциря, а также о количестве спутников.

Одинокова Евгения

Построить функцию, по внешним параметрам самки предсказывающую, будет ли у неё хотя бы один спутник. Оценить значимость каждого фактора.

Ломакин Василий

Построить функцию, по внешним параметрам самки предсказывающую количество спутников у самки. Оценить значимость каждого фактора.

Засеивание облаков и уровень осадков

Исследовалось воздействие засеивания облаков на обилие дождей. Измерения проводились в течение 108 периодов на пяти участках земли в Тасмании - участки обозначены в файле как западный, восточный, южный, северный и северо-восточный. В выборке содержатся данные об уровне осадков (в миллиметрах) на каждом из пяти участков, о времени года, к которому относится период, и о том, проводилось ли засеивание.

Решетняк Илья

Проверить, как засеивание облаков повлияло на уровень осадков в целом по всей выборке. Сделать также выводы об эффективности засеивания отдельно по каждому времени года.

Джумабекова Айнагуль

Проверить, как засеивание облаков повлияло на уровень осадков отдельно по каждому из пяти экспериментальных участков. Одинаково ли проявляется эффект засеивания на каждом из них, или, возможно, он как-то зависит от исходного уровня осадков на участке?

Отслеживание движений глаз больных шизофренией

Горизонтальное угловое смещение ко времени. А - движение объекта, В - движение глазных яблок при высококачественном слежении, С - при низкокачественном слежении.

Исследовалось, как шизофрения влияет на способность слежения за движущейся целью. 43 здоровых испытуемых (22 женщины и 21 мужчина) и 43 больных (13 женщин и 30 мужчин) прошли через серию экспериментов, в которых перед ними был расположен движущийся вправо-влево объект, а инфракрасный датчик считывал движение глазных яблок. Рассматривалось три типа объектов: PS - белый объект, движущийся со скоростью, пропорциональной синусу времени, CS - объект, движущийся по той же траектории, но меняющий свой цвет от белого до синего или оранжевого, TR - белый объект, движущийся с постоянной скоростью, равной максимальной скорости объекта PS. Измерение показателя - отношения скорости глаза к скорости объекта - производилось на 11 последовательных участках траектории, однако из-за моргания в данных есть и многочисленные пропуски. Чем ближе значение показателя к единице, тем точнее слежение.