Участник:Slimper/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Slimper(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: ==Введение== ==Постановка задачи== ==Метод решения==)
м (декатегоризация)
 
(33 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
-
==Введение==
+
'''Критерий Бартелса (Bartels test)''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для проверки случайности последовательности наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критерий Бартелса можно применять для анализа регрессионных остатков.
-
==Постановка задачи==
+
Также его можно применять при анализе [[временной ряд|временных рядов]] для выявления тренда.
-
==Метод решения==
+
 
 +
== Примеры задач ==
 +
'''Пример 1.'''
 +
Ряд значений состоит из подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, посещавших страну в течение года.
 +
Требуется установить, являются ли число туристов, случайным, или оно
 +
подчиняется какой-то закономерности.
 +
 
 +
== Описание критерия ==
 +
Заданы выборка <tex>x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 
 +
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\;</tex> выборка <tex>x^n</tex> [[простая выборка|простая]], то
 +
есть все наблюдения <tex>x_i</tex> — независимы и одинаково распределены.
 +
 
 +
'''Статистика критерия:'''
 +
# Построить [[вариационный ряд]] выборки <tex>x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n)</tex> и найти ранги <tex>r(x_i)</tex> всех элементов.
 +
# Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:
 +
::<tex>B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}</tex>
 +
 
 +
Варианты критерия (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
 +
 
 +
* двусторонний критерий (против альтернативы, что данные не случайны)
 +
::если <tex> B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 
 +
* левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)
 +
::если <tex> B < B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
* правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)
 +
::если <tex> B > B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 
 +
Здесь <tex> B_{n,\alpha} </tex> -- это <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения статистики Бартелса с параметром <tex>n</tex>.
 +
 
 +
===Асимптотический критерий ===
 +
Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально
 +
с матожиданием <tex>\mathbb{E}B = 2</tex> и дисперсией
 +
::<tex> \mathbb{D}B = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2} </tex>
 +
 
 +
Поэтому при
 +
<tex>n \ge 20</tex> используется нормированная статистика Бартелса
 +
::<tex>B' = \frac{B - \mathbb{E}B}{\sqrt{\mathbb{D}B} } </tex>
 +
 
 +
== Свойства критерия Бартелса==
 +
Бартелс с помошью численного моделирования показал , что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем [[Критерий Вальда-Вольфовица|критерий серий]].
 +
 
 +
== История ==
 +
Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.
 +
 
 +
== Литература ==
 +
 
 +
# ''Gibbons J. D., Chakraborti S.'' Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608&nbsp;с.
 +
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
 +
* [[Статистика (функция выборки)]]
 +
* [[Критерий Вальда-Вольфовица|Критерий серий]] — другой критерий для проверки случайности ряда наблюдений
 +
 
 +
== Ссылки ==
 +
 
 +
{{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2010}}

Текущая версия

Критерий Бартелса (Bartels test)непараметрический статистический критерий, используемый для проверки случайности последовательности наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критерий Бартелса можно применять для анализа регрессионных остатков. Также его можно применять при анализе временных рядов для выявления тренда.

Содержание

[убрать]

Примеры задач

Пример 1. Ряд значений состоит из подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, посещавших страну в течение года. Требуется установить, являются ли число туристов, случайным, или оно подчиняется какой-то закономерности.

Описание критерия

Заданы выборка x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}.

Нулевая гипотеза H_0:\; выборка x^n простая, то есть все наблюдения x_i — независимы и одинаково распределены.

Статистика критерия:

  1. Построить вариационный ряд выборки x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n) и найти ранги r(x_i) всех элементов.
  2. Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:
B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}

Варианты критерия (при уровне значимости \alpha):

  • двусторонний критерий (против альтернативы, что данные не случайны)
если  B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right] , то нулевая гипотеза отвергается;
  • левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)
если  B < B_{n,\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)
если  B > B_{n,\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

Здесь  B_{n,\alpha} -- это \alpha-квантиль табличного распределения статистики Бартелса с параметром n.

Асимптотический критерий

Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально с матожиданием \mathbb{E}B = 2 и дисперсией

 \mathbb{D}B = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2}

Поэтому при n \ge 20 используется нормированная статистика Бартелса

B' = \frac{B - \mathbb{E}B}{\sqrt{\mathbb{D}B} }

Свойства критерия Бартелса

Бартелс с помошью численного моделирования показал , что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем критерий серий.

История

Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.

Литература

  1. Gibbons J. D., Chakraborti S. Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608 с.
  2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Ссылки

Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Slimper
Преподаватель: Участник:Vokov
Срок: 08 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Личные инструменты