Методы оптимизации в машинном обучении (курс лекций)/2015

Материал из MachineLearning.

Версия 08:52, 7 сентября 2015

Настройка модели алгоритмов по данным~— это задача оптимизации, от эффективности решения которой зависит практическая применимость метода машинного обучения. В эпоху больших данных многие классические алгоритмы оптимизации становятся неприменимы, т.к. здесь требуется решать задачи оптимизации функций за время меньшее, чем необходимо для вычисления значения функции в одной точке. Таким требованиям можно удовлетворить в случае грамотного комбинирования известных подходов в оптимизации с учётом конкретной специфики решаемой задачи. Курс посвящен изучению классических и современных методов решения задач непрерывной оптимизации (в том числе невыпуклой), а также особенностям применения этих методов в задачах оптимизации, возникающих в машинном обучении. Наличие у слушателей каких-либо предварительных знаний по оптимизации не предполагается, все необходимые понятия разбираются в ходе занятий. Основной акцент в изложении делается на практические аспекты реализации и использования методов. Целью курса является выработка у слушателей навыков по подбору подходящего метода для своей задачи, наиболее полно учитывающего её особенности. Курс рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов. Знание основ машинного обучения приветствуется, но не является обязательным — все необходимые понятия вводятся в ходе лекций.

Автор курса: Д.А. Кропотов. Вопросы и комментарии по курсу просьба адресовать письмом на bayesml@gmail.com. В название письма просьба добавлять [МОМО15].

Расписание на 2015 учебный год

В осеннем семестре 2015 года спецкурс читается на ВМК по понедельникам в ауд. 607, начало в 18-10. Первое занятия — 14 сентября.

Система выставления оценок за курс

В рамках курса предполагается два практических задания и экзамен. Каждое задание и экзамен оцениваются по пятибалльной шкале. Итоговая оценка за курс получается путем взвешенного суммирования оценок за задания и экзамен с дальнейшим округлением в сторону ближайшего целого. Вес каждого задания составляет 1/3. За каждый день просрочки при сдаче задания начисляется штраф в 0.1 балла, но не более 2 баллов. Для допуска к экзамену необходимо предварительно сдать на положительную оценку оба задания.

Программа курса

Основные понятия и примеры задач

• Градиент и гессиан функции многих переменных, их свойства, необходимые и достаточные условия безусловного экстремума;
• Матричные разложения, их использование для решения СЛАУ;
• Структура итерационного процесса в оптимизации, понятие оракула, критерии останова;
• Глобальная и локальная оптимизация, скорости сходимости итерационных процессов оптимизации;
• Примеры оракулов и задач машинного обучения со «сложной» оптимизацией.

Методы одномерной оптимизации

• Минимизация функции без производной: метод золотого сечения, метод парабол;
• Гибридный метод минимизации Брента;
• Методы решения уравнения : метод деления отрезка пополам, метод секущей;
• Минимизация функции с известной производной: кубическая аппроксимация и модифицированный метод Брента;
• Поиск ограничивающего сегмента;
• Условия Армихо-Голдштайна-Вольфа для неточного решения задачи одномерной оптимизации;
• Неточные методы одномерной оптимизации, backtracking.

Методы многомерной оптимизации

• Методы линейного поиска и доверительной области;
• Метод градиентного спуска: наискорейший спуск, спуск с неточной одномерной оптимизацией, скорость сходимости метода для сильно-выпуклых функций с липшицевым градиентом, зависимость от шкалы измерений признаков;
• Сходимость общего метода линейного поиска с неточной одномерной минимизацией;
• Метод Ньютона: схема метода, скорость сходимости для выпуклых функций с липшицевым гессианом, подбор длины шага, способы коррекции гессиана до положительно-определённой матрицы;
• Метод сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений, скорость сходимости метода, предобуславливание;
• Метод сопряженных градиентов для оптимизации неквадратичных функций, стратегии рестарта, зависимость от точной одномерной оптимизации;
• Неточный (безгессианный) метод Ньютона: схема метода, способы оценки произведения гессиана на вектор через вычисление градиента;
• Применение неточного метода Ньютона для обучения линейного классификатора и нелинейной регрессии, аппроксимация Гаусса-Ньютона и адаптивная стратегия Levenberg-Marquardt;
• Квазиньютоновские методы оптимизации: DFP, BFGS и L-BFGS;

Методы оптимизации с использованием глобальных верхних оценок, зависящих от параметра

• Вероятностная модель линейной регрессии с различными регуляризациями: квадратичной, L1, Стьюдента;
• Идея метода оптимизации, основанного на использовании глобальных оценок, сходимость;
• Пример применения метода для обучения LASSO;
• Построение глобальных оценок с помощью неравенства Йенсена, ЕМ-алгоритм, его применение для вероятностных моделей линейной регрессии;
• Построение оценок с помощью касательных и замены переменной;
• Оценка Jaakkola-Jordan для логистической функции, оценки для распределений Лапласа и Стьюдента;
• Применение оценок для обучения вероятностных моделей линейной регрессии;
• Выпукло-вогнутая процедура, примеры использования.

Методы внутренней точки

• Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах условной оптимизации, условия Куна-Таккера и условия Джона, соотношение между ними;
• Выпуклые задачи условной оптимизации, двойственная функция Лагранжа, двойственная задача оптимизации;
• Решение задач условной оптимизации с линейными ограничениями вида равенство, метод Ньютона;
• Прямо-двойственный метод Ньютона, неточный вариант метода;
• Метод логарифмических барьерных функций, поиск допустимой стартовой точки;
• Методы первой фазы;
• Прямо-двойственный метод внутренней точки;
• Использование методов внутренней точки для обучения SVM.

Разреженные методы машинного обучения

• Модели линейной/логистической регрессии с регуляризациями L1 и L1/L2;
• Понятие субградиента выпуклой функции, его связь с производной по направлению, необходимое и достаточное условие экстремума для выпуклых негладких задач безусловной оптимизации;
• Метод наискорейшего субградиентного спуска;
• Проксимальный метод;
• Метод покоординатного спуска и блочной покоординатной оптимизации.

Методы отсекающих плоскостей

• Понятие отделяющего оракула, базовый метод отсекающих плоскостей (cutting plane);
• Надграфная форма метода отсекающих плоскостей;
• Bundle-версия метода отсекающих плоскостей, зависимость от настраиваемых параметров;
• Применение bundle-метода для задачи обучения SVM;
• Добавление эффективной процедуры одномерного поиска;
• Реализация метода с использованием параллельных вычислений и в условиях ограничений по памяти.

Стохастическая оптимизация

• Общая постановка задачи стохастической оптимизации, пример использования;
• Задачи минимизации среднего и эмпирического риска;
• Метод стохастического градиентного спуска, две фазы итерационного процесса, использование усреднения и инерции;
• Стохастический градиентный спуск как метод оптимизации и как метод обучения;
• Метод SAG;
• Применение стохастического градиентного спуска для SVM (алгоритм PEGASOS);

Методы оптимизации для глубинного обучения

• Модель глубинного автокодировщика;
• Стандартный подход к глубинному обучению: стохастический градиент + мини-батчи + предобучение + drop-out;
• Алгоритм обратного распространения ошибки и его обобщения для быстрого умножения гессиана на произвольный вектор;
• Неточный метод Ньютона с предобуславливанием через L-BFGS.

Литература

1. Optimization for Machine Learning. Edited by Suvrit Sra, Sebastian Nowozin and Stephen J. Wright, MIT Press, 2011.
2. J. Nocedal, S.J. Wright. Numerical Optimization. Springer, 2006.
3. S. Boyd, L. Vandenberghe. Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.
4. A. Antoniou, W.-S. Lu. Practical Optimization: Algorithms and Engineering Applications, Springer, 2007.
5. Б. Поляк. Введение в оптимизацию, Наука, 1983.
6. Ю. Нестеров. Методы выпуклой оптимизации, МЦМНО, 2010.
7. R. Fletcher. Practical Methods of Optimization, Wiley, 2000.
8. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 2007.

Архив

2014 год

2012 год

См. также

Курс «Графические модели»

Курс «Байесовские методы в машинном обучении»

Спецсеминар «Байесовские методы машинного обучения»

Математические методы прогнозирования (кафедра ВМиК МГУ)