Методы оптимизации в машинном обучении (курс лекций)/2015

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Настройка модели алгоритмов по данным — это задача оптимизации, от эффективности решения которой зависит практическая применимость метода машинного обучения. В эпоху больших данных многие классические алгоритмы оптимизации становятся неприменимы, т.к. здесь требуется решать задачи оптимизации функций за время меньшее, чем необходимо для вычисления значения функции в одной точке. Таким требованиям можно удовлетворить в случае грамотного комбинирования известных подходов в оптимизации с учётом конкретной специфики решаемой задачи. Курс посвящен изучению классических и современных методов решения задач непрерывной оптимизации (в том числе невыпуклой), а также особенностям применения этих методов в задачах оптимизации, возникающих в машинном обучении. Наличие у слушателей каких-либо предварительных знаний по оптимизации не предполагается, все необходимые понятия разбираются в ходе занятий. Основной акцент в изложении делается на практические аспекты реализации и использования методов. Целью курса является выработка у слушателей навыков по подбору подходящего метода для своей задачи, наиболее полно учитывающего её особенности. Курс рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов. Знание основ машинного обучения приветствуется, но не является обязательным — все необходимые понятия вводятся в ходе лекций.

Автор курса: Д.А. Кропотов. Вопросы и комментарии по курсу просьба адресовать письмом на bayesml@gmail.com. В название письма просьба добавлять [МОМО15].

Расписание на 2015 учебный год

В осеннем семестре 2015 года спецкурс читается на ВМК по понедельникам в ауд. 607, начало в 18-10. Первое занятие — 14 сентября.

Дата Название лекции Материалы
14 сентября 2015 Введение в курс
21 сентября 2015 Лекции не будет
28 сентября 2015 Методы одномерной минимизации Презентация
Текст
5 октября 2015 Градиентные методы и метод Ньютона Презентация
Текст
12 октября 2015 Метод сопряжённых градиентов для квадратичной функции, предобуславливание Презентация
Текст
19 октября 2015 Оптимизация в пространстве большой размерности: общий метод сопряжённых градиентов и неточный (безгессианный) метод Ньютона Презентация
26 октября 2015 Оптимизация в пространстве большой размерности: квазиньютоновские методы оптимизации
2 ноября 2015 Задачи оптимизации с ограничениями, метод Ньютона для задач с ограничениями вида равенства
9 ноября 2015 Прямо-двойственный метод Ньютона и метод логарифмических барьеров
16 ноября 2015 Прямо-двойственный метод внутренней точки Текст
23 ноября 2015 Разреженные методы машинного обучения Текст
30 ноября 2015 Стохастическая оптимизация
7 декабря 2015 Суррогатная оптимизация Текст
14 декабря 2015 Методы оптимизации для глубинного обучения

Система выставления оценок за курс

В рамках курса предполагается два практических задания и экзамен. Каждое задание и экзамен оцениваются по пятибалльной шкале. Итоговая оценка за курс получается путем взвешенного суммирования оценок за задания и экзамен с дальнейшим округлением в сторону ближайшего целого. Вес каждого задания составляет 1/3. За каждый день просрочки при сдаче задания начисляется штраф в 0.1 балла, но не более 2 баллов. Для допуска к экзамену необходимо предварительно сдать на положительную оценку оба задания.

Экзамен

Первая итерация экзамена по спецкурсу состоится 21 декабря (понедельник) в ауд. 678, начало в 16-20. Вторая итерация состоится 21 января (четверг) в ауд. 682, начало в 12-00. На экзамене при подготовке билета разрешается пользоваться любыми материалами.

Вопросы к экзамену

Практические задания

Задание 1. Неточный метод Ньютона для l_2-регуляризованной логистической регрессии

Задание 2. Методы внутренней точки для l_1-регуляризованной линейной регрессии

Программа курса

Основные понятия и примеры задач

  • Градиент и гессиан функции многих переменных, их свойства, необходимые и достаточные условия безусловного экстремума;
  • Матричные разложения, их использование для решения СЛАУ;
  • Структура итерационного процесса в оптимизации, понятие оракула, критерии останова;
  • Глобальная и локальная оптимизация, скорости сходимости итерационных процессов оптимизации.

Методы одномерной оптимизации

  • Минимизация функции без производной: метод золотого сечения, метод парабол;
  • Гибридный метод минимизации Брента;
  • Методы решения уравнения f^\prime(x)=0: метод деления отрезка пополам, метод секущей;
  • Минимизация функции с известной производной: кубическая аппроксимация и модифицированный метод Брента;
  • Поиск ограничивающего сегмента;
  • Условия Армихо и Вольфа для неточного решения задачи одномерной оптимизации;
  • Неточные методы одномерной оптимизации, backtracking.

Методы многомерной оптимизации

  • Методы линейного поиска и доверительной области;
  • Метод градиентного спуска: наискорейший спуск, спуск с неточной одномерной оптимизацией, скорость сходимости метода для сильно-выпуклых функций с липшицевым градиентом, зависимость от шкалы измерений признаков;
  • Метод Ньютона: схема метода, скорость сходимости для выпуклых функций с липшицевым гессианом, подбор длины шага, способы коррекции гессиана до положительно-определённой матрицы;
  • Метод сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений, скорость сходимости метода, предобуславливание;
  • Метод сопряженных градиентов для оптимизации неквадратичных функций, стратегии рестарта, зависимость от точной одномерной оптимизации;
  • Неточный (безгессианный) метод Ньютона: схема метода, способы оценки произведения гессиана на вектор через вычисление градиента;
  • Квазиньютоновские методы оптимизации: SR1, BFGS и L-BFGS.

Методы внутренней точки

  • Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах условной оптимизации, условия Куна-Таккера;
  • Выпуклые задачи условной оптимизации, двойственная функция Лагранжа, двойственная задача оптимизации;
  • Решение задач условной оптимизации с линейными ограничениями вида равенство, метод Ньютона;
  • Прямо-двойственный метод Ньютона, неточный вариант метода;
  • Метод логарифмических барьерных функций;
  • Прямо-двойственный метод внутренней точки;
  • Методы первой фазы.

Разреженные методы машинного обучения

  • Модели линейной/логистической регрессии с регуляризациями L1 и L1/L2;
  • Понятие субградиента выпуклой функции, его связь с производной по направлению, необходимое и достаточное условие экстремума для выпуклых негладких задач безусловной оптимизации;
  • Метод наискорейшего субградиентного спуска;
  • Проксимальный метод, вычисление prox-оператора для L1- и L1/L2-регуляризаторов.

Стохастическая оптимизация

  • Задачи минимизации среднего и эмпирического риска;
  • Метод стохастического градиентного спуска, две фазы итерационного процесса, использование инерции;
  • Метод SAG;
  • Комбинирование стохастической оптимизации и проксимального метода.

Суррогатная оптимизация

  • Вероятностная модель логистической регрессии;
  • Общая идея метода суррогатной оптимизации;
  • Применение метода для стохастической оптимизации: метод MISO;
  • Пример применения метода для обучения LASSO;
  • Построение глобальных оценок с помощью неравенства Йенсена, ЕМ-алгоритм, его применение для вероятностной модели логистической регрессии;
  • Построение оценок с помощью касательных и замены переменной;
  • Оценка Jaakkola-Jordan для логистической функции, её применение для обучения вероятностной модели логистической регрессии;
  • Выпукло-вогнутая процедура, примеры использования.

Методы оптимизации для глубинного обучения

  • Адаптивная стратегия Левенберга-Марквардта для задачи минимизации суммы квадратов;
  • Модель глубинного автокодировщика;
  • Алгоритм обратного распространения ошибки и его обобщения для быстрого умножения гессиана на произвольный вектор;
  • Неточный метод Ньютона с предобуславливанием через L-BFGS.

Литература

  1. Optimization for Machine Learning. Edited by Suvrit Sra, Sebastian Nowozin and Stephen J. Wright, MIT Press, 2011.
  2. J. Nocedal, S.J. Wright. Numerical Optimization. Springer, 2006.
  3. S. Boyd, L. Vandenberghe. Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.
  4. A. Antoniou, W.-S. Lu. Practical Optimization: Algorithms and Engineering Applications, Springer, 2007.
  5. Б. Поляк. Введение в оптимизацию, Наука, 1983.
  6. Ю. Нестеров. Методы выпуклой оптимизации, МЦМНО, 2010.
  7. R. Fletcher. Practical Methods of Optimization, Wiley, 2000.
  8. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 2007.

Архив

2014 год

2012 год

См. также

Курс «Графические модели»

Курс «Байесовские методы в машинном обучении»

Спецсеминар «Байесовские методы машинного обучения»

Математические методы прогнозирования (кафедра ВМиК МГУ)

Личные инструменты