Участник:Коликова Катя/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Коликова Катя(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Виды мер точности)
Текущая версия (22:19, 16 октября 2008) (править) (отменить)
 
(4 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
== Введение ==
== Введение ==
=== Постановка вопроса. Виды погрешностей===
=== Постановка вопроса. Виды погрешностей===
-
Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются ''неустранимыми'', поскольку они неизбежны в рамках данной модели.
+
Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются '''неустранимыми''', поскольку они неизбежны в рамках данной модели.
-
При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые '''''погрешностями метода'''''. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются '''''погрешность дискретизации''''' и '''''погрешность округления'''''. <br />При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается ее дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется '''''погрешностью дискретизации'''''. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации. <br />Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для ее решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется '''''погрешностью округления''''' ('''''вычислительной погрешностью'''''). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.
+
При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые '''погрешностями метода'''. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются '''''погрешность дискретизации''''' и '''''погрешность округления'''''. <br />При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается ее дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется ''погрешностью дискретизации''. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации. <br />Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для ее решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется ''погрешностью округления'' (''вычислительной погрешностью''). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.
 +
 
 +
Итак, следует различать '''погрешности модели''', '''дискретизации''' и '''округления'''. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10<sup>−6</sup>, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10<sup>−2</sup>.
-
Итак, следует различать погрешности модели, метода и вычислительную. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10<sup>−6</sup>, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10<sup>−2</sup>.
 
===Виды мер точности===
===Виды мер точности===
Мерой точности вычислений являются '''''абсолютные''''' и '''''относительные погрешности'''''. ''Абсолютная погрешность'' определяется формулой
Мерой точности вычислений являются '''''абсолютные''''' и '''''относительные погрешности'''''. ''Абсолютная погрешность'' определяется формулой
{{ eqno | 1 }}
{{ eqno | 1 }}
-
::<tex>\Delta(\tilde a)=|\tilde a-a|</tex>
+
::<tex>\Delta(\tilde a)=|\tilde a-a|,</tex>
-
где <tex>\tilde a</tex> – приближение к точному значению <tex>a</tex>.
+
где <tex>\tilde a</tex> – приближение к точному значению <tex>a</tex>. <br />''Относительная погрешность'' определяется формулой
 +
 
 +
{{ eqno | 2 }}
 +
::<tex>\delta(\tilde a)=\frac{|\tilde a-a|}{a}.</tex>
 +
 
 +
Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием ''верных значащих цифр''. ''Значащими цифрами'' числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется ''верной'', если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, <tex>\tilde a=9348</tex>, абсолютная погрешность <tex>\Delta(\tilde a)=15</tex>. Записывая число в виде
 +
 
 +
<p align="center"><tex>9348=9\cdot10^3+3\cdot10^2+4\cdot10^1+8\cdot10^0,</tex></p>
 +
имеем <tex>0,5\cdot10^1<\Delta(\tilde a)<0,5\cdot10^2</tex>, следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).
 +
 
 +
В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:
 +
 
 +
{{ eqno | 3 }}
 +
<p align="center"><tex>\Delta(\tilde a)<0,5\cdot10^{m-n+1} ,</tex></p>
 +
где <tex>m</tex> - порядок (вес) старшей цифры, <tex>n</tex> - количество верных значащих цифр. <br />В рассматриваемом примере <tex>\Delta(\tilde a)\le0,5\cdot10^{3-2+1}\le0,5\cdot10^2=50</tex>.
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==
Строка 20: Строка 35:
{{stub}}
{{stub}}
-
[[Категория:Участник:Коликова Катя/Песочница]]
+
[[Категория:MachineLearning:Статьи для улучшения]]

Текущая версия

Содержание

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается ее дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для ее решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10−6, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10−2.

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

( 1 )
\Delta(\tilde a)=|\tilde a-a|,

где \tilde a – приближение к точному значению a.
Относительная погрешность определяется формулой

( 2 )
\delta(\tilde a)=\frac{|\tilde a-a|}{a}.

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, \tilde a=9348, абсолютная погрешность \Delta(\tilde a)=15. Записывая число в виде

9348=9\cdot10^3+3\cdot10^2+4\cdot10^1+8\cdot10^0,

имеем 0,5\cdot10^1<\Delta(\tilde a)<0,5\cdot10^2, следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

( 3 )

\Delta(\tilde a)<0,5\cdot10^{m-n+1} ,

где m - порядок (вес) старшей цифры, n - количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере \Delta(\tilde a)\le0,5\cdot10^{3-2+1}\le0,5\cdot10^2=50.

Изложение метода

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы