Теория надёжности обучения по прецедентам (курс лекций, К. В. Воронцов)
Материал из MachineLearning.
Спецкурс знакомит студентов с теорией вычислительного обучения (computational learning theory, COLT), исследующей проблему надёжности восстановления зависимостей по эмпирическим данным. Родоначальниками этой теории были советские математики В. Н. Вапник и А. Я. Червоненкис. В 80-е годы эта теория получила широкую мировую известность, и в настоящее время продолжает развиваться.
Один из основных вопросов теории COLT — как количественно оценить способность алгоритмов классификации и прогнозирования к обобщению эмпирических фактов. В каких случаях можно утверждать, что общие закономерности, выявленные по частным прецедентам, не окажутся ложными, предрассудками? Как избежать переобучения — ситуации, когда ответы алгоритма удаётся хорошо подогнать под обучающие данные, но на новых контрольных данных они оказываются существенно менее точными? Как управлять обобщающей способностью алгоритма на стадии его построения? Эти и другие смежные вопросы рассматриваются в данном спецкурсе.
Цели спецкурса — научить студентов оценивать надёжность алгоритмов обучения; использовать оценки обобщающей способности для разработки более надёжных алгоритмов; применять их для решения прикладных задач классификации, регрессии, прогнозирования.
В основу курса легли современные результаты, полученные в COLT за последнее десятилетие, а также собственные исследования автора по комбинаторной теории переобучения и слабой вероятностной аксиоматике.
На кафедре Математические методы прогнозирования ВМиК МГУ данный курс читается как математический спецкурс студентам 3—5 курсов с 2007 года, в дополнение к обязательному кафедральному курсу Математические методы распознавания образов (ММРО).
На кафедре Интеллектуальные системы ФУПМ МФТИ данный курс является третьей частью трёхсеместрового курса Теория обучения машин.
Комбинаторная теория переобучения
Проблема переобучения и перестановочная вероятность
- Задачи обучения по прецедентам. Примеры прикладных задач и алгоритмов классификации и регрессии.
- Бинарная функция потерь. Матрица ошибок. Понятия наблюдаемой и скрытой выборки. Понятие переобучения.
- Слабая вероятностная аксиоматика.
- Функционалы качества обучения: вероятность переобучения, вероятность большой частоты ошибок на контроле, полный скользящий контроль.
- Понятия точности и надёжности предсказаний. Обращение оценок.
- Способы применения оценок обобщающей способности. Задачи выбора модели, отбора признаков, оптимизации сложности модели, оптимизации размера локальной окрестности.
- Эмпирические оценки скользящего контроля.
- Сравнение слабой и сильной вероятностной аксиоматики. Финитарные и инфинитарные вероятности. Перенос оценок из слабой аксиоматики в сильную.
Предсказание частоты события и гипергеометрическое распределение
- Задача предсказания частоты события. Пример приложения — выборочный контроль качества.
- Лемма. Частота события в наблюдаемой выборке подчиняется гипергеометрическому распределению.
- Теорема. Точная оценка вероятности большого уклонения частот события на наблюдаемой и скрытой выборках.
- Геометрическая интерпретация.
- Свойства гипергеометрического распределения. Способы его вычисления.
- Экспоненциальные верхние и асимптотические оценки. Закон больших чисел в слабой аксиоматике.
- Переход от ненаблюдаемой оценки к наблюдаемой. Точная интервальная оценка. Вероятность нуль-события.
Элементы теории Вапника-Червоненкиса
- Принцип равномерной сходимости.
- Семейство алгоритмов как подмножество векторов булева куба. Коэффициент разнообразия и функция роста семейства алгоритмов.
- Теорема. Оценка Вапника-Червоненкиса через коэффициент разнообразия (shattering coefficient).
- Понятие ёмкости (VC-dimension), её связь с функцией роста, ёмкость семейства линейных классификаторов.
- Теорема. Оценка Вапника-Червоненкиса через ёмкость.
- Обращение оценки. Метод структурной минимизации риска.
- Проблема завышенности оценок. Анализ причин завышенности, эффекты расслоения и связности.
- Эксперимент. Вычисление достаточной длины обучающей выборки.
- Разновидности методов обучения. Пессимистичная, оптимистичная, рандомизированная минимизация эмпирического риска. Максимизация переобученности.
- Программа для вычисления эмпирических оценок вероятности переобучения методом Монте-Карло.
- Эксперимент с четырьмя модельными семействами алгоритмов для выяснения влияния расслоения и связности на вероятность переобучения.
Точные комбинаторные оценки для модельных семейств алгоритмов
- Теорема. Вероятность переобучения полного слоя алгоритмов.
- Теорема. Вероятность переобучения множества из двух алгоритмов.
- Теорема. Вероятность переобучения монотонной цепи алгоритмов.
- Теорема. Вероятность переобучения унимодальной цепи алгоритмов.
- Теорема. Вероятность переобучения интервала булева куба.
- Вычислительные эксперименты с модельными семействами и интерпретация результатов.
Принцип порождающих и запрещающих множеств
- Простая гипотеза о множествах порождающих и запрещающих объектов.
- Лемма о вероятности получить заданный алгоритм в результате обучения.
- Теорема. Точная оценка вероятности переобучения.
- Общая гипотеза о множествах порождающих и запрещающих объектов.
- Теорема. Общая гипотеза верна практически всегда.
- Лемма и Теорема для общей гипотезы.
- Теорема. Точная оценка функционала полного скользящего контроля.
- Теорема. Точные оценки для случая, когда существует корректный алгоритм.
Оценки расслоения-связности
- Граф расслоения-связности. Верхняя связность, нижняя связность, неполноценность алгоритма.
- Монотонный метод обучения. Примеры.
- Теорема. Оценка расслоения-связности для вероятности переобучения.
- Теорема. Оценка расслоения-связности для полного скользящего контроля.
- Оценки для монотонной и унимодальной цепи.
- Профиль расслоения-связности. Гипотеза о сепарабельности профиля расслоения-связности.
- Многомерная монотонная сеть алгоритмов. Примеры.
- Теорема. Оценка расслоения-связности для многомерной монотонной сети алгоритмов.
- Вычислительные эксперименты с многомерными сетями.
- Критерий точности оценок расслоения-связности (без доказательства).
Конъюнктивные логические закономерности
- Логические алгоритмы классификации (rule learning). Примеры прикладных задач. Виды закономерностей: конъюнкции, синдромы, шары, полупространства.
- Критерии информативности. Примеры. Двухкритериальная оптимизация в (p,n)-пространстве.
- Теорема о монотонности метода максимизации информативности.
- Теорема. Оценка расслоения-связности для частоты ошибок I и II рода.
- Структура классов эквивалентности семейства конъюнкций пороговых предикатов.
- Стандартные представители классов эквивалентности и граничные подмножества объектов.
- Послойный восходящий алгоритм вычисления оценки расслоения-связности.
- Модификация критериев информативности. Применение для отбора признаков. Результаты экспериментов.
Оценки равномерного отклонения эмпирических распределений
- Вероятность большого равномерного отклонения эмпирических функций распределения. Задача проверки гипотезы однородности. Задача оценивания функции распределения.
- Теоремы Колмогорова и Смирнова (без доказательства).
- Усечённый треугольник Паскаля. Случайное блуждание.
- Теорема. Точная оценка вероятности большого равномерного отклонения эмпирических распределений. Геометрические интерпретации.
- Обобщение на случай вариационного ряда со связками. Почему в этом случае задача оценивания функции распределения намного сложнее.
Радемахеровская сложность
- Принцип равномерной сходимости, задача оценивания вероятности большого равномерного отклонения частот. Метод обучения, максимизирующий переобученность.
- Понятие радемахеровской сложности, его связь с вероятностью переобучения.
- Оценка равномерной сходимости через принцип порождающих и запрещающих множеств.
- Оценка равномерной сходимости через цепные разложения.
- Точная оценка равномерной сходимости для монотонной цепи алгоритмов через случайное блуждание.
Оценки скользящего контроля для метода ближайших соседей
- Метрические алгоритмы классификации, метод ближайших соседей.
- Понятие профиля компактности.
- Теорема. Точное выражение функционала полного скользящего контроля для метода одного ближайшего соседа (1NN).
- Теорема. Точное выражение функционала полного скользящего контроля для метода k ближайших соседей (kNN).
- Свойства профилей компактности.
- Алгоритм выделения эталонных объектов (prototype learning). Функция вклада объекта и её эффективное вычисление. Прямые и обратные окрестности. Метрические деревья.
- Разделение объектов на шумовые, эталонные и неинформативные.
- Вычислительные эксперименты с методом ближайших эталонов.
Оценки скользящего контроля для монотонных классификаторов
- Монотонные алгоритмы классификации. Монотонные корректирующие операции в композициях классификаторов.
- Понятие клина объекта. Профиль монотонности выборки.
- Теорема. Верхняя оценка полного скользящего контроля.
- Монотонный классификатор ближайшего соседа. Взаимосвязь между профилями компактности и монотонности.
- Теорема. Точная оценка полного скользящего контроля для монотонного классификатора ближайшего соседа (в случае монотонной выборки).
- Теорема. Верхняя оценка полного скользящего контроля для монотонного классификатора ближайшего соседа (в общем случае).
- Критерии настройки базовых алгоритмов на основе оценок обобщающей способности. Вычислительные эксперименты с монотонными композициями классификаторов.
Учебные материалы
- Учебное пособие по курсу ТНОП: Voron-2011-tnop.pdf, 3 МБ (обновление 24 мая 2013).
- Две лекции: Voron15-tnop-2lectures.pdf, 1,9 МБ (обновление 1 апреля 2015).
- Обзорная лекция в НМУ 13.04.2013. Презентация: (PDF, 3.5 МБ). Дополнение: Евгений Соколов. Линейные классификаторы и случайные блуждания. (PDF, 380 KБ). Видео: YouTube.
Ссылки
- Расслоение и сходство алгоритмов (виртуальный семинар)
- Предсказывающие неравенства в задаче эмпирической минимизации риска (виртуальный семинар)
