Адаптивные методы прогнозирования временных рядов

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
Последовательность процесса адаптации в основном выглядит следующим образом. Пусть модель находится в некотором исходном состоянии (т.е. определены текущие значения ее параметров) и по ней делается прогноз. Выжидаем, пока истечет одна единица времени (шаг моделирования), и анализируем, насколько далек результат, полученный по модели, от фактического значения ряда. Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает на вход системы и используется моделью в соответствии с ее логикой для перехода из одного состояния в другое с целью большего согласования своего поведения с динамикой ряда. На изменения ряда модель должна отвечать "компенсирующими" изменениями. Затем делается прогноз на следующий момент времени, и весь процесс повторяется.
Последовательность процесса адаптации в основном выглядит следующим образом. Пусть модель находится в некотором исходном состоянии (т.е. определены текущие значения ее параметров) и по ней делается прогноз. Выжидаем, пока истечет одна единица времени (шаг моделирования), и анализируем, насколько далек результат, полученный по модели, от фактического значения ряда. Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает на вход системы и используется моделью в соответствии с ее логикой для перехода из одного состояния в другое с целью большего согласования своего поведения с динамикой ряда. На изменения ряда модель должна отвечать "компенсирующими" изменениями. Затем делается прогноз на следующий момент времени, и весь процесс повторяется.
-
Предполагаем, что задан временной ряд: <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex>, где <tex>x_t</tex> - значение временного ряда в момент времени <tex>t</tex>
+
Предполагаем, что задан временной ряд: <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex>, где <tex>x_t</tex> - значение временного ряда в момент времени <tex>t</tex>. <tex>\hat{x}_{\tau}(t)</tex> - прогноз значения временного ряда в момент времени <tex>t+\tau</tex>, сделанное в момент времени <tex>t</tex>.
==Простейшие адаптивные модели==
==Простейшие адаптивные модели==
-
''[[Экспоненциальное сглаживание]]''
+
===''[[Экспоненциальное сглаживание]]'', Модель Брауна===
 +
 
 +
Предполагается, что ряд генерируется моделью
 +
::<tex>x_t = a_{1, t}+\eps_t</tex>,
 +
::где <tex>a_{1, t}</tex> - варьирующий во времени средний уровень ряда, <tex>\eps_t</tex> - [[белый шум]]
Прогноз временного ряда получается по формуле:
Прогноз временного ряда получается по формуле:
-
::<tex>x_t = S_t</tex>,
+
::<tex>\hat{x}_{\tau}(t) = S_t</tex>,
::где <tex>S_t</tex>-значение экспоненциальной средней в момент времени <tex>t</tex>, которое вычисляется по формуле:
::где <tex>S_t</tex>-значение экспоненциальной средней в момент времени <tex>t</tex>, которое вычисляется по формуле:
::<tex>S_t = \alpha x_t+(1-\alpha S_{t-1}</tex>, <tex>\alpha = const, 0<\alpha<1</tex> - параметр сглаживания
::<tex>S_t = \alpha x_t+(1-\alpha S_{t-1}</tex>, <tex>\alpha = const, 0<\alpha<1</tex> - параметр сглаживания
Строка 15: Строка 19:
Главное достоинство такой прогнозной модели состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.
Главное достоинство такой прогнозной модели состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.
-
==Другие модели==
+
Недостаток: экспоненциальная средняя дает систематическую ошибку, когда временной ряд имеет тенденцию линейного роста
-
* [[Модель Хольта]] — линейный тренд без сезонности.
+
 
 +
===Модели линейного роста===
 +
Предполагаем, что прогноз может быть получен по уравнению:
 +
::<tex>\hat{x}_{\tau}(t) = \hat{a}_{1, t}+\tau \hat{a}_{2, t}</tex>,
 +
::где <tex>\hat{a}_{1, t}, \hat{a}_{2, t}</tex> - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка.
 +
В разных моделях эти коэффициенты вычисляются по-разному.
 +
 
 +
* [[Модель Хольта]]
 +
::<tex>\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1});</tex>
 +
::<tex>\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1},</tex>
 +
::где <tex>0<\alpha_1, \alpha_2<1</tex> - параметры адаптации
 +
* Модель линейного роста Брауна - это частный случай модели Хольта
 +
::<tex>\hat{a}_{1, t} = \hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t</tex>;
 +
::<tex>\hat{a}_{2, t} = \hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t</tex>,
 +
::где <tex>e_t = x_t-\hat{x}_1(t-1)</tex> - ошибка прогноза, <tex>0<\beta<1</tex> - коэффициент дисконтирования, характеризующий обесценивание данных наблюдения за единицу времени.
 +
* Модель прогнозирования Дж.Бокса и Г.Дженкинса - в модель Хольта включается разность ошибок
 +
::<tex>\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1})+\alpha_3(e_t-e_{t-1})</tex>
 +
::<tex>\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1}</tex>
 +
 
 +
Данная модель не дает преимуществ перед моделью Хольта, так как коэффициент <tex>\alpha_3</tex> часто оказывается близким к нулю.
 +
 
 +
===Сезонные модели===
* [[Модель Хольта-Уинтерса]] — мультипликативный тренд и сезонность.
* [[Модель Хольта-Уинтерса]] — мультипликативный тренд и сезонность.
-
* [[Модель Тейла-Вейджа]] — аддитивный тренд и сезонность.
+
* [[Модель Тейла-Вейджа]] — аддитивный тренд и сезонность.
 +
==Другие модели==
 +
* Анализ адекватности адаптивных моделей, [[скользящий контрольный сигнал]].
* Анализ адекватности адаптивных моделей, [[скользящий контрольный сигнал]].
* [[Адаптация параметров адаптации]]. [[Модель Тригга-Лича]].
* [[Адаптация параметров адаптации]]. [[Модель Тригга-Лича]].
Строка 25: Строка 52:
* [[Адаптивная композиция моделей прогнозирования]].
* [[Адаптивная композиция моделей прогнозирования]].
-
 
+
== Литература ==
 +
# ''Лукашин Ю. П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.:&nbsp;Финансы и статистика, 2003. — 416&nbsp;с.
{{Задание|Евгения Одинокова|Vokov|1 февраля2009}}
{{Задание|Евгения Одинокова|Vokov|1 февраля2009}}
[[Категория:Прогнозирование временных рядов]]
[[Категория:Прогнозирование временных рядов]]

Версия 15:12, 31 января 2010

Адаптивные методы прогнозирования временных рядов представляют из себя методы, цель которых заключается в построении самокорректирующихся (самонастраивающихся) экономико-математических моделей, которые способны отражать изменяющиеся во времени условия, учитывать информационную ценность различных членов временной последовательности и давать достаточно точные оценки будущих членов данного ряда. Такие модели предназначаются прежде всего для краткосрочного прогнозирования.

Содержание

Процесс адаптации

Последовательность процесса адаптации в основном выглядит следующим образом. Пусть модель находится в некотором исходном состоянии (т.е. определены текущие значения ее параметров) и по ней делается прогноз. Выжидаем, пока истечет одна единица времени (шаг моделирования), и анализируем, насколько далек результат, полученный по модели, от фактического значения ряда. Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает на вход системы и используется моделью в соответствии с ее логикой для перехода из одного состояния в другое с целью большего согласования своего поведения с динамикой ряда. На изменения ряда модель должна отвечать "компенсирующими" изменениями. Затем делается прогноз на следующий момент времени, и весь процесс повторяется.

Предполагаем, что задан временной ряд: x_1,x_2,\ldots, x_n, где x_t - значение временного ряда в момент времени t. \hat{x}_{\tau}(t) - прогноз значения временного ряда в момент времени t+\tau, сделанное в момент времени t.

Простейшие адаптивные модели

Экспоненциальное сглаживание, Модель Брауна

Предполагается, что ряд генерируется моделью

x_t = a_{1, t}+\eps_t,
где a_{1, t} - варьирующий во времени средний уровень ряда, \eps_t - белый шум

Прогноз временного ряда получается по формуле:

\hat{x}_{\tau}(t) = S_t,
где S_t-значение экспоненциальной средней в момент времени t, которое вычисляется по формуле:
S_t = \alpha x_t+(1-\alpha S_{t-1}, \alpha = const, 0<\alpha<1 - параметр сглаживания

Главное достоинство такой прогнозной модели состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения.

Недостаток: экспоненциальная средняя дает систематическую ошибку, когда временной ряд имеет тенденцию линейного роста

Модели линейного роста

Предполагаем, что прогноз может быть получен по уравнению:

\hat{x}_{\tau}(t) = \hat{a}_{1, t}+\tau \hat{a}_{2, t},
где \hat{a}_{1, t}, \hat{a}_{2, t} - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка.

В разных моделях эти коэффициенты вычисляются по-разному.

\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1});
\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1},
где 0<\alpha_1, \alpha_2<1 - параметры адаптации
  • Модель линейного роста Брауна - это частный случай модели Хольта
\hat{a}_{1, t} = \hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t;
\hat{a}_{2, t} = \hat{a}_{2, t-1}+(1-\beta^2)e_t,
где e_t = x_t-\hat{x}_1(t-1) - ошибка прогноза, 0<\beta<1 - коэффициент дисконтирования, характеризующий обесценивание данных наблюдения за единицу времени.
  • Модель прогнозирования Дж.Бокса и Г.Дженкинса - в модель Хольта включается разность ошибок
\hat{a}_{1, t} = \alpha_1 x_t+(1-\alpha_1)(\hat{a}_{1, t-1}+\hat{a}_{2, t-1})+\alpha_3(e_t-e_{t-1})
\hat{a}_{2, t} = \alpha_2 (\hat{a}_{1, t}-\hat{a}_{1, t-1})+(1-\alpha_2)\hat{a}_{2, t-1}

Данная модель не дает преимуществ перед моделью Хольта, так как коэффициент \alpha_3 часто оказывается близким к нулю.

Сезонные модели

Другие модели

Литература

  1. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 416 с.


Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Евгения Одинокова
Преподаватель: Участник:Vokov
Срок: 1 февраля2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.