Сезонность

Материал из MachineLearning.

Содержание

1 Выделение сезонности
2 Модели, учитывающие сезонность
3 Прогнозирование с коэффициентами сезонности
4 См. также
5 Внешние ссылки
6 Литература

Сезонность - периодически колебания, наблюдаемые на временных рядах. Сезонность характерна для экономических временных рядов, реже она встречается в научных данных. В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Например, розничные продажи как правило растут с приближением новогодних праздников, а после них показывают спад. Соответственно временные ряды, отражающие эти сезонные эффекты, содержат периодические колебания.

Выделение сезонности

Перед выделением сезонных колебаний необходимо вычислить период сезонности. В большинстве случаев период известен из контекста задачи (если рассматривать розничные продажи, то период будет равен году). Однако если период не известен заранее, то его можно найти с помощью автокорреляционной функции.

Функции обнаружения сезонности встроены во многие программы, предназначенные для работы со статистическими данными, такие как Statistica.^[1]

Модели, учитывающие сезонность

Сезонность можно учитывать, создавая модель временного ряда.

Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами сезонности.

Модели первого типа имеют вид:

$x_t~=~\xi_t+\epsilon_t$

$\xi_t = a_tf_t$ ,

где динамика величины $a_t$ характеризует тенденцию развития процесса;

$f_t$ , $f_{t-1}$ ,..., $f_{t-l+1}$ — коэффициенты сезонности;

$l$ — количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет месячные наблюдения, то в экономике обычно $l$ = 12, при квартальных данных $l$ = 4 и т. п.);

$\epsilon_t$ — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Модели второго типа записываются как:

$x_t~=~\xi_t+\epsilon_t$

$\xi_t = a_t+g_t$ ,

где величина $a_t$ описывает тенденцию развития процесса;

$g_t$ , $g_{t-1}$ ,..., $g_{t-l+1}$ — аддитивные коэффициенты сезонности;

$l$ — количество фаз в полном сезонном цикле;

$\epsilon_t$ — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Адаптивная модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем. Уинтерс поставил задачу разработать модель для прогнозирования объемов сезонных продаж с использованием ЭВМ. Модель должна быть такой, чтобы: а) прогнозы рассчитывались на основе одних и тех же программ для большого количества продуктов; б) вычисления производились быстро и дешево; в) использовался минимальный объем памяти для информации; г) учитывались изменяющиеся условия. Поэтому целесообразно в прогностических моделях учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. Это и сделал Уинтерс с помощью экспоненциальной схемы. Модель при этом становится сложнее, зато и точность прогнозов для большинства товаров существенно возрастает.

Прогнозирование с коэффициентами сезонности

Данная модель содержит только сезонный эффект.

Модель имеет вид:

$a_t = \alpha_1~\frac{x_t}{f_{t-l}}+(1-\alpha_1)a_{t-1}$ , $0<\alpha_1<1$

$f_t = \alpha_2~\frac{x_t}{a_t}+(1-\alpha_2)f_{t-l}$ , $0<\alpha_2<1$

$a_t$ является взвешенной суммой текущей оценки $\frac{x_t}{f_{t-l}$ , полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных $x_t$ и предыдущей оценки $a_{t-1}$ . В качестве коэффициента сезонности $f_t$ берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла. Затем величина $a_t$ , полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению.