Ридж-регрессия

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Ридж-регрессия или гребневая регрессия (англ. ridge regression) - это один из методов понижения размерности. Часто его применяют для борьбы с переизбыточностью данных, когда независимые переменные коррелируют друг с другом (т.е. имеет место мультиколлинеарность). Следствием этого является плохая обусловленность матрицы X^T X и неустойчивость оценок коэффициентов регрессии. Оценки, например, могут иметь неправильный знак или значения, которые намного превосходят те, которые приемлемы из физических или практических соображений.

Метод стоит использовать, если:

  • сильная обусловленность;
  • сильно различаются собственные значения или некоторые из них близки к нулю;
  • в матрице X есть пости линено зависимые столбцы.


Содержание

Пример задачи

Предположим признаки в задаче были плохо отбранны экспертами в X присутствуют данные о длине, выраженные с сантиметрах и дюймах. Легко видеть, что эти данные линейно зависимы.

Описание метода

Число обусловленности

Пусть \Sigma=X^T X.

Число обусловленности равно \mu(\Sigma)=||\Sigma||\cdot||\Sigma^{-1}||=\frac{\max_{u:||u||=1} ||\Sigma_u ||}{\min_{u:||u||=1} ||\Sigma_u ||}=\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}},

где \lambda_{max},\ \lambda_{min} собственные значения \Sigma.

Гребневая регрессия

Вводится модифицированный функционал

Q_{\tau}=|| y -X\theta||^2+\tau||\theta||^2\to min_{\theta}

где \tau - коэффициент регуляризации.

МНК (регуляризованное) решение:

\hat{Q}_\tau=(X^T X+\tau I_k)^{-1}X^T y

Для любого собственного значения \lambda и собственного вектора v матрицы X^T X верно:

X^T Xv=\lambda v.

Для (X^X+\tau I_k) v остаётся собственным вектором, но с другим собственным значением \lambda'

X^T Xv+\tau v=\lambda ' v

\lambda'=\lambda+\tau

Тогда число обусловленности для матрицы X^T X+\tau I равно

\mu(X^T X+\tau I)=\frac{\lambda_{max}+\tau}{\lambda_{min}+\tau}.

Получается, что чем больше \tau, тем меньше число обусловленности. С ростом \tau возрастает устойчивость задачи.


Литература

  • Норман Дрейпер, Гарри Смит Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия = Applied Regression Analysis. — 3-е изд. — М.: «Диалектика», 2007. — С. 912. — ISBN 0-471-17082-8


См. также

Ссылки

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B8%D0%B4%D0%B6-%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F»
Личные инструменты