Критерий асимметрии и эксцесса
Материал из MachineLearning.
|
С помощью критерия асиметрии и эксцесса можно проверить гипотезу : случайная величина имеет распределение, отличное от нормального. Если распределение нормально, то его коэффициент ассиметрии и коэффициент эксцесса . Так как значения и могут иметь место и для распределений, отличных от нормального, то этот критерий следует воспринимать как критерий установления отклонения от нормальности распределения, но не установления нормальности.
Описание критерия
Выборочные оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса равны
- .
Известно, что
Распределение достаточно быстро стремится к нормальному. Для справедливы соотношения
Распределение стремится к нормальному медленно.
Рассмотрим применение критерия для установления отклонения эмпирического распределения от нормального. При можно использовать грубый критерий:
то нормальность распределения отвергается.
На практике применяют нормальизующие преобразования для . Рассмотрим некоторые из них. Д'агостино и Пирсоном была предложена аппроксимация , где , которая при распределена как стандартная нормальная величина (коэффициенты заданы таблично).
Была предложена следующая нормализующая аппроксимация:
если
то величина уже при может быть аппроксимирована стандартным нормальным распределением.
Рассмотрим теперь преобразование для коэффициента эксцесса . Распределение может быть аппроксимировано распределением с степенями свободы при
- где
Анскомбе и Глинном было предложено весьма эффективное нормализующее преобразование для коэффициента эксцесса.
Алгоритм его построения заключается в следующем.
Если то случайная величина
аппроксимируется стандартным нормальным распределением уже при .
Нормализующие таблицы позволяют использовать таблицы (или аппроксимации) стандартного нормального распределения для проверки отклонения от нормальности.
Мощность критерия проверки отклонения от нормальности может быть повышена применением так называемого комбинированного -критерия
- ,
- ,
где и —- стандартные нормальные эквиваленты распределений и .
Статистика имеет -распределение с степенями свободы. Другая форма комбинированного критерия исследовалась Боуманом и Фолксом. Если и ( и —- выборочные оценки параметров и соответственно), то статистика имеет -распределение с .
См. также
Ссылки
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 238 с.
- D'Agostino R. B., Pearson E. S. A further development of test departure from normality. — Biometrika, 1973, 60, №3 — p. 613-622.