Интерполяция функций двух переменных, проблема выбора узлов

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Рассмотрим систему несовпадающих точек ~(x_i , y_i) (i\in{1,\dots,N}) из некоторой области ~D. Пусть значения функции ~f известны только в этих точках:

z_i = f(x_i,y_i),\quad i=1,\ldots,N.
  • Точки ~(x_i , y_i) называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
  • Тройки ~(x_i,y_i,z_i) называют точками данных или базовыми точками

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции ~F из заданного класса функций, что

F(x_i,y_i) = z_i,\quad i=1,\ldots,N.
F(x,y) максимально приближает функцию f(x,y) в произвольной точке (x,y) внутри интерполяционной сетки.
  • Функцию ~F(x) — называют интерполирующей функцией .

Изложение метода

Проблема выбора узлов

Рассмотрим задачу интерполяции полиномами:
I. Заметим что не любое число узлов интерполяции выгодно. Если для одной переменной степень многочлена была взаимно однозначно связана с числом узлов, то для двух переменных многочлен n-ой степени P_n(x,y)=\sum_{k+m=0}^na_{km}x^ky^m\ имеет (n+1)(n+2)/2 узлов. Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов при высших степенях должна задаваться принудительно (в частности нулями): для выбора этих коэффициентов редко есть разумные основания.
II. Также не всякое расположение узлов допустимо: в одномерном случае узлы не должны были совпадать. Теперь же для интерполяции многочеленом P_1(x,y) необходимо, чтобы узлы не лежали на прямой в плоскости (x,y). При интерполяции многочленом P_n(x,y) требуется, чтобы узлы не лежали на кривой n-го порядка.
Поэтому для хорошей интерполяции сетка должна быть регулярно построенной, а не представлять собой совокупность беспорядочно расположенных точек. Следущие два примера используют прямоугольную сетку, образованную пересечением прямых x = xn, n = 0, ..., N и y = ym, m = 0, ..., M,

fnm = f(xn, ym) — значение функции в узле {xn, ym }.

Билинейная интерполяция

Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для начала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = ym . Затем при каждом значении x = xn реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.
Пусть \ x\in[x_n,x_n_+_1],\ \ y\in[y_m,y_m_+_1]

f(x,y)\approx \ f_{nm}\frac{(x_{n+1}-x)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ \ \ +\ \ \ f_{n+1,m}\frac{(x-x_n)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}+<br/>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +f_{n,m+1}\frac{(x-x_n)(y-y_m)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ +\ f_{n+1,m+1}\frac{(x_{n+1}-x)(y-y_m)}{{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}

Результат билинейной интерполяции не зависит от порядка шагов: можно сначала интерполировать вдоль оси абсцисс а затем вдоль оси ординат, так и наоборот, результат будет одним и тем же.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа - многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек.

Для двумерного случая многочлен выглядит следующим образом

L(x) = \sum_{n=0}^N \sum_{m=0}^M f_{nm} l_{nm}(x,y)


l_{nm}(n,m)=1
l_{nm}(x,y)=0 при x\ne n\ V \ y\ne m

базисные полиномы вычисляются по следующей формуле:

l_{nm}(x,y)=\prod_{i=0 \\i \ne n}^N\ \prod_{j=0 \\j\ne m}^M\frac{(x-x_i)(y-y_j)}{(x_n-x_j)(y_m-y_j)}

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация lnm(x,y), может иметь степень не больше n×m, и по определению L(xn,ym)=f(xn,ym)

Числовой пример

Изображение:Function.jpg На Рис.1 исходная функция двух переменных ( значение функции в точке - уровень серого 0..255)
На Рис.2 сверху функция полученная с помощью билинейной интерполяции при сетке размера 6×6, на этом же рисунке снизу показана абсолютная разность между исходным изображанием и интерполируещей функцией. На Рис.3 изображено то же что и на Рис.2 только с сеткой 11×11.

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989.
  • А.А.Самарский.  Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
  • Н.Н.Калиткин.  Численные методы М.: Наука, 1978.

См. также

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%2C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B2»
Личные инструменты