Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Введение

Практически любой язык программирования даёт возможность использовать в вычислениях дробные числа. Когда дело касается программной реализации численных методов или любых других вычислений на ЭВМ, важным вопросом является внутреннее представление чисел, с которым приходится работать программисту. От этого главным образом зависит точность вычислений,а также их скорость.

В этом отчёте будут рассматриваться те аспекты представления чисел в ЭВМ, которые важны пользователям, желающим активно работать с дробными величинами. Также будет рассмотрен наиболее часто используемый стандарт IEEE 754. В заключение будут приведены способы доступа к основным параметрам представления дробных чисел в ряде языков программирования (C,C++,Fortran,Pascal).


Числа с плавающей точкой

Числа с плавающей точкой - общепринятая форма представления дробных чисел в ЭВМ. Параметрами такой формы представления является основание степени \beta (base) и точность p (precision). При этом всегда требуется, чтобы основание степени было целым чётным числом. Если $\beta=10$ и $p=3$, то число 0.1 представляется в виде $1.00\times 10^{-1}$. Однако, очевидно, что при определённых параметрах некоторые числа не удастся представить точно. Например, при $\beta=2$ и $p=24$ то же самое число 0.1 представляется приблизительно в виде 1.10011001100110011001101\times 2^{-4} (поскольку в бинарном представлении число 0.1 имеет бесконечный вид).

В общем случае при заданных параметрах запись вида $d_0.d_1d_2 \dots d_{p-1}\times\beta^e$ представляет число

$\pm\left(d_0+d_1\beta^{-1}+d_2\beta^{-2}\dots+d_{p-1}\beta^{p-1}\right)\beta^e,\ ( 0\leq d_i<\beta )$

При этом d_0.d_1d_2 \dots d_{p-1} называется мантиссой числа и состоит из p позиций. В дальнейшем под числом с плавающей точкой мы будем понимать дробные числа точно представимые в смысле данной формы.

Существуют ещё два важных параметра — максимальный и минимальный показатели степени $e_{max}$ и e_{min}. Таким образом, при фиксированных параметрах мы можем представить $2\left(e_{max}-e_{min}+1\right)\beta^p$ разных чисел с учётом знака.

Здесь возникает проблема - что делать с числами, не представимыми точно. Чаще всего такая ситуация возникает при попытке представить числа, имеющие слишком длинное или вообще бесконечное представление (пример с 0.1). В этом случае нужное нам число лежит где-то между двумя числами с плавающей точкой и будет представляться одним из них. Реже встречается попытка использовать числа, меньшие, чем 1.0\times\beta^{e_{min}}, или большие, чем \beta.0\times\beta^{e_{max}}. Подробнее об этом речь пойдёт в пункте

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

  • David Goldberg.  What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM Computing Surveys, Vol. 23, No. 1 (March 1991), pages 5--48.


Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%80%D1%82_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB_%D1%81_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%B2_%D0%AD%D0%92%D0%9C»
Личные инструменты