Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
Материал из MachineLearning.
Мультиномиальное распределение — совместное распределение вероятностей независимых случайных величин
принимающих целые неотрицательные значения
удовлетворяющие условиям
с вероятностями
где , ; является многомерным дискретным распределением случайного вектора такого, что
(по существу это распределение является -мерным, так как в пространстве оно вырождено).
Мультииномиальное распределение появляется в так называемой полиномиальной схеме случайных экспериментов: каждая из случайных величин —это число наступлений одного из взаимоисключающих событий , при повторных независимых экспериментах. Если в каждом эксперименте вероятность наступления события равна , то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при экспериментах события наступят раз соответственно.
Каждая из случайных величин имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .
Случайный вектор имеет математическое ожидание и ковариационную матрицу , где
Ранг матрицы равен в силу того, что .
Характеристическая функция:
При распределение случайного вектора с нормированными компонентами
стремится к некоторому многомерному нормальному распределению, а распределение суммы
которая используется в математической статистике при построении -критерия, стремится к -распределению с степенями свободы.
Мультиномиальное распределение независимых случайных величин впервые получил В.Я. Буняковский [1] путем разложения полиинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь полином.
Имея в виду и аналогичное разложение бинома, В.Я. Буняковский на с.19 написал: "Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу."
Литература
См. также
- Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
- Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы мультиномиального распределения
- Биномиальное распределение одной случайной величины
- Биномиальное распределение двух случайных величин
- Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- Парадоксы биномиального распределения