Квантиль
Материал из MachineLearning.
|
-кванти́ль (или квантиль порядка
) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей
.
Определение
-кванти́ль
случайной величины
с функцией распределения
— это
любое число
, удовлетворяющее двум условиям:
- 1)
;
- 2)
.
- 1)
Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:
Если — непрерывная строго монотонная функция, то
существует единственный квантиль
любого порядка
, который
однозначно определяется из уравнения
,
следовательно,
выражается через функцию, обратную к функции распределения:
Кроме указанной ситуации, когда уравнение имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:
- если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка
, в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка
. Для этой точки выполнены соотношения:
и
(первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
- если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка
может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины
в данный интервал равна нулю.
Часто используемые квантили специальных видов
Проценти́ль
Дециль
Квинтиль
Квартиль
Медиана
Терминология, принятая в математической статистике
В задачах математической статистики часто возникает необходимость отделить сверху, снизу или с обеих сторон области, вероятности попадания в которые малы. В связи с этим часто используется следующая терминология.
Нижняя (односторонняя) квантиль уровня - это то же, что и обычная квантиль порядка
:
Верхняя (односторонняя) квантиль уровня - это обычная квантиль порядка
:
Двусторонние квантили уровня - это пара (нижняя+верхняя) односторонних квантилей уровня
. Двусторонние квантили задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью:
Выборочный квантиль
Пусть задана простая выборка , и её вариационный ряд есть
Выборочный -кванти́ль или выборочный квантиль порядка
,
есть статистика (функция выборки), равная элементу вариационного ряда с номером
(целая часть от
).
Пусть — плотность,
— функция распределения случайной величины
.
Тогда выборочные квантили
имеют при
асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям
и ковариациями
Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.
Литература
- Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
Ссылки
- Quantile, Percentile, Decile — статьи в англоязычной Википедии.
- Квантиль — статья в русской Википедии.