Вычисление второй производной по одной переменной
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Допустим, что в некоторой точке у функции
существует производная 2-го порядка
, которую точно вычислить либо не удается, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.
Изложение метода
При численном дифференцировании функцию аппроксимируют легко вычисляемой функцией
и приближенно полагают
. При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Рассмотрим простейший случай - аппроксимацию интерполяционным многочленом Ньютона. Вводя обозначение
, запишем это многочлен и продифференцируем его почленно:
Общая формула примет следующий вид:
Обрывая ряд на некотором числе членов, получим приближенное выражение для соответсвующей производной. Наиболее простые выражения получим, оставляя в формуле (1) только первый член:
,
,
Исследование точности полученных выражений при численных расчетах удобно делать при помощи апостериорной оценки, по скорости убывания членов ряда (1). Если шаг сетки достаточно мал, то погрешность близка к первому отброшенному члену. Пусть мы используем узлы . Тогда первый отброшенный член содержит разделенную разность
, которая согласно (2) примерно равна
. Перед ней стоит сумма произведений различных множителей
; каждое произведение содержит
множителей, а вся сумма состоит из
слагаемых. Отсюда следует оценка погрешности формулы (1) с
узлами:
,
В частности, если сетка равномерная, то , откуда
.
Стоит заметить, что строгое априорное исследование погрешности формулы (1), аналогичное выводу остаточного члена многочлена Ньютона в форме Коши, для произвольного расположения узлов приводит к той же оценке (3).
Таким образом, порядок точности формулы (1) по отношению к шагу сетки равен числу оставленных в ней членов, или, что то же самое, он равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов, необходимое для вычисления -й производной, равно
; оно приводит к формулам (2) и обеспечивает первый порядок точности. Эти выводы соответсвуют общему принципу: при почленном дифференцировании рдяа скорость его сходимости уменьшается.
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
- Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. Лаборатория Базовых Знаний, 2003.
- Н.Н.Калиткин. Численные методы. Москва «Наука», 1978.