Квантиль
Материал из MachineLearning.
м (→Определение: терминология) |
(уточнение+исправление) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{TOCright}} | {{TOCright}} | ||
- | <tex>\alpha</tex>-'''кванти́ль''' (или ''квантиль порядка'' <tex>\alpha</tex>) — числовая характеристика случайной величины; такое число, что данная случайная величина | + | <tex>\alpha</tex>-'''кванти́ль''' (или ''квантиль порядка'' <tex>\alpha</tex>) — числовая характеристика закона распределения [[случайная_величина|случайной величины]]; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей <tex>\alpha</tex>. |
== Определение == | == Определение == | ||
<tex>\alpha</tex>-'''кванти́ль''' | <tex>\alpha</tex>-'''кванти́ль''' | ||
- | случайной величины <tex>\xi</tex> с функцией распределения | + | [[случайная_величина|случайной величины]] <tex>\xi</tex> с [[функция_распределения|функцией распределения]] |
<tex>F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \}</tex> — это | <tex>F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \}</tex> — это | ||
- | число <tex>x_\alpha</tex>, удовлетворяющее двум условиям: | + | любое число <tex>x_\alpha</tex>, удовлетворяющее двум условиям: |
::1) <tex>F(x_\alpha) \leq \alpha</tex>; | ::1) <tex>F(x_\alpha) \leq \alpha</tex>; | ||
::2) <tex>F(x_\alpha+0) \geq \alpha</tex>. | ::2) <tex>F(x_\alpha+0) \geq \alpha</tex>. | ||
+ | |||
+ | Заметим, что данные условия эквивалентны следующим: | ||
+ | |||
+ | <center><tex>\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)\le\alpha</tex> и <tex>\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha</tex></center> | ||
Если <tex>F(x)</tex> — непрерывная строго монотонная функция, то | Если <tex>F(x)</tex> — непрерывная строго монотонная функция, то | ||
Строка 18: | Строка 22: | ||
выражается через функцию, обратную к функции распределения: | выражается через функцию, обратную к функции распределения: | ||
::<tex>x_\alpha = F^{-1}(\alpha).</tex> | ::<tex>x_\alpha = F^{-1}(\alpha).</tex> | ||
+ | |||
+ | Кроме указанной ситуации, когда уравнение <tex>F(x_\alpha) = \alpha</tex> имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других: | ||
+ | * если указанное уравнение ''не имеет решений'', то это означает, что существует единственная точка <tex>x_\alpha</tex>, в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка <tex>\alpha</tex>. Для этой точки выполнены соотношения: <tex>\mathbb{P}(\xi<x_\alpha)<\alpha</tex> и <tex>\mathbb{P}(\xi>x_\alpha)\le 1- \alpha</tex> (первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство). | ||
+ | * если уравнение имеет ''более одного решения'', то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка <tex>\alpha</tex> может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины <tex>\xi</tex> в данный интервал равна нулю. | ||
При построении доверительного интервала для случайной величины <tex>\xi</tex> используется равенство | При построении доверительного интервала для случайной величины <tex>\xi</tex> используется равенство | ||
Строка 63: | Строка 71: | ||
+ | [[Категория:Теория вероятностей]] | ||
+ | [[Категория:Математическая статистика]] | ||
[[Категория:Прикладная статистика]] | [[Категория:Прикладная статистика]] |
Версия 11:57, 13 ноября 2009
|
-кванти́ль (или квантиль порядка
) — числовая характеристика закона распределения случайной величины; такое число, что данная случайная величина попадает левее его с вероятностью, не превосходящей
.
Определение
-кванти́ль
случайной величины
с функцией распределения
— это
любое число
, удовлетворяющее двум условиям:
- 1)
;
- 2)
.
- 1)
Заметим, что данные условия эквивалентны следующим:
Если — непрерывная строго монотонная функция, то
существует единственный квантиль
любого порядка
, который
однозначно определяется из уравнения
,
следовательно,
выражается через функцию, обратную к функции распределения:
Кроме указанной ситуации, когда уравнение имеет единственное решение (которое и дает соответствующий квантиль), возможны также две других:
- если указанное уравнение не имеет решений, то это означает, что существует единственная точка
, в которой функция распределения имеет разрыв, которая удовлетворяет данному определению и является квантилью порядка
. Для этой точки выполнены соотношения:
и
(первое неравенство строгое, а второе может быть как строгим, так и обращаться в равенство).
- если уравнение имеет более одного решения, то все его решения образуют интервал, на котором функция распределения постоянна. В качестве квантили порядка
может быть взята любая точка этого интервала. Содержательные выводы, в которых участвует квантиль, от этого существенно не изменятся, поскольку вероятность попадания случайной величины
в данный интервал равна нулю.
При построении доверительного интервала для случайной величины используется равенство
.
Величины, связанные с квантилями
Проценти́ль
Дециль
Квинтиль
Квартиль
Медиана
Выборочный квантиль
Пусть задана простая выборка , и её вариационный ряд есть
Выборочный -кванти́ль или выборочный квантиль порядка
,
есть статистика (функция выборки), равная элементу вариационного ряда с номером
(целая часть от
).
Пусть — плотность,
— функция распределения случайной величины
.
Тогда выборочные квантили
имеют при
асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям
и ковариациями
Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.
Литература
- Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
Ссылки
- Quantile, Percentile, Decile — статьи в англоязычной Википедии.
- Квантиль — статья в русской Википедии.