Участник:Slimper/Песочница
Материал из MachineLearning.
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | '''Критерий Ван дер Вардена''' — | + | '''Критерий Ван-дер-Вардена''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для оценки различий между двумя [[выборка]]ми по признаку, измеренному в количественной [[шкала измерения|шкале]]. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению |
- | [[ | + | к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. |
- | + | ||
- | == | + | == Примеры задач == |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | '''Пример 1.''' | |
- | + | Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. | |
- | + | Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. | |
- | + | Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) | |
+ | Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики. | ||
- | + | '''Пример 2.''' | |
- | + | Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. | |
- | + | Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. | |
- | + | Значения в выборках — это урожайность. | |
- | + | Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | '''Пример 3.''' | |
+ | Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). | ||
+ | Вторая выборка — дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). | ||
+ | Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). | ||
+ | Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен. | ||
- | + | == Описание критерия == | |
- | + | Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | '''Дополнительные предположения:''' | |
- | + | * обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]]; | |
- | + | * выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений <tex>F(x)</tex> и <tex>G(y)</tex> соответственно. | |
- | + | ||
- | + | ||
- | *[[ | + | |
- | + | ||
- | * | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | ''' | + | '''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; F(x) = G(y)</tex>. |
- | + | ||
- | <tex> | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | '''Статистика критерия:''' | |
- | + | # Построить общий [[вариационный ряд]] объединённой выборки <tex>x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}</tex> и найти ранги <tex>r(x_i),\; r(y_i)</tex> всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду. | |
- | + | # Вычислить суммарные ранги обеих выборок и статистику Манна-Уитни <tex>U</tex>: | |
- | + | ::<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);\;\;\;\; U_x = mn + \frac12m(m+1) - R_x;</tex> | |
- | + | ::<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);\;\;\;\; U_y = mn + \frac12n(n+1) - R_y;</tex> | |
- | + | ::<tex>U = \min\left\{U_x,U_y\right\}.</tex> | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | == | + | Замечание: менее рациональный способ вычисления статистик Манна-Уитни <tex>U_x,\: U_y</tex>: |
- | {{ | + | ::<tex>U_x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i < y_j\right];</tex> |
+ | ::<tex>U_y = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i > y_j\right].</tex> | ||
+ | |||
+ | '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} \neq 1/2</tex> | ||
+ | ::если <tex> U \notin \left[ U_{\alpha/2},\, U_{1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается; | ||
+ | |||
+ | * против альтернативы <tex>H'_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} > 1/2</tex> | ||
+ | ::если <tex> U_x > U_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается; | ||
+ | |||
+ | * против альтернативы <tex>H''_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} < 1/2</tex> | ||
+ | ::если <tex> U_y > U_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается; | ||
+ | где | ||
+ | <tex> U_{\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона-Манна-Уитни с параметрами <tex>m,\,n</tex>. | ||
+ | |||
+ | '''Асимптотический критерий''': | ||
+ | нормированная и центрированная статистика Манна-Уитни | ||
+ | ::<tex>\tilde U = \frac{U-\frac12mn}{\sqrt{\frac1{12}mn(m+n+1)}}</tex> | ||
+ | асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при <tex>m,\,n > 8</tex>. | ||
+ | |||
+ | == Свойства и границы применимости U-критерия == | ||
+ | |||
+ | Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую [[гипотеза однородности|гипотезу однородности]] | ||
+ | <tex>H_{00}:\; F(x)=G(y)</tex>, то есть что две выборки взяты из одного и того же распределения. | ||
+ | U-критерий не является состоятельным против общей альтернативы | ||
+ | <tex>H_1:\; F(x) \neq G(y)</tex>. | ||
+ | Это означает, что гипотеза однородности будет приниматься чаще, чем она на самом деле верна. | ||
+ | Существуют ситуации, когда гипотеза <tex>H_{0}</tex> верна, а более сильная гипотеза однородности <tex>H_{00}</tex> не верна [Орлов]. | ||
+ | Для проверки [[гипотеза однородности|однородности]] существуют более мощные критерии, в частности, [[критерий Смирнова]] или [[критерий Лемана-Розенблатта]]. | ||
+ | |||
+ | Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках. | ||
+ | Существуют распределения, для которых гипотеза <tex>H_{0}</tex> верна, но их медианы различны. | ||
+ | |||
+ | U-критерий можно применять для проверки [[гипотеза сдвига|гипотезы сдвига]] в качестве альтернативной | ||
+ | <tex>H_{1}:\; F(x)=G(x+r)</tex>, где <tex>r</tex> — некоторая константа, отличная от нуля. | ||
+ | При этой альтернативе U-критерий является [[состоятельный критерий|состоятельным]]. | ||
+ | Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения <tex>G(x)</tex> описывает погрешности измерения одного значения, а <tex>G(x+r)</tex> — другого. Однако во многих приложениях (в частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом. | ||
+ | |||
+ | U-критерий является непараметрическим аналогом [[Критерий Стьюдента|критерия Стьюдента]]. | ||
+ | Если [[нормальная выборка|выборки нормальные]], то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента. | ||
+ | |||
+ | == История == | ||
+ | Критерий был предложен Ван-дер-Варденом в 1953 году | ||
== Литература == | == Литература == | ||
+ | # ''ван дер Варден Б.Л.'' Математическая статистика/Пер.с нем. — М.: Иностранная литература,1960 — 450 c. | ||
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с. | # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с. | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
+ | == См. также == | ||
+ | * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез. | ||
+ | * [[Статистика (функция выборки)]] | ||
+ | * [[Критерий Стьюдента]] | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
- | |||
- | |||
+ | [[Категория:Статистические тесты]] | ||
+ | [[Категория:Непараметрические статистические тесты]] | ||
{{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2010}} | {{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2010}} |
Версия 09:35, 6 января 2010
Критерий Ван-дер-Вардена — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по признаку, измеренному в количественной шкале. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Содержание |
Примеры задач
Пример 1. Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.
Пример 2. Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.
Пример 3. Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка — дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.
Описание критерия
Заданы две выборки .
Дополнительные предположения:
- обе выборки простые, объединённая выборка независима;
- выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений
и
соответственно.
Статистика критерия:
- Построить общий вариационный ряд объединённой выборки
и найти ранги
всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
- Вычислить суммарные ранги обеих выборок и статистику Манна-Уитни
:
Замечание: менее рациональный способ вычисления статистик Манна-Уитни :
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза отвергается;
- если
где
есть
-квантиль табличного распределения Уилкоксона-Манна-Уитни с параметрами
.
Асимптотический критерий: нормированная и центрированная статистика Манна-Уитни
асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при .
Свойства и границы применимости U-критерия
Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу однородности
, то есть что две выборки взяты из одного и того же распределения.
U-критерий не является состоятельным против общей альтернативы
.
Это означает, что гипотеза однородности будет приниматься чаще, чем она на самом деле верна.
Существуют ситуации, когда гипотеза
верна, а более сильная гипотеза однородности
не верна [Орлов].
Для проверки однородности существуют более мощные критерии, в частности, критерий Смирнова или критерий Лемана-Розенблатта.
Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках.
Существуют распределения, для которых гипотеза верна, но их медианы различны.
U-критерий можно применять для проверки гипотезы сдвига в качестве альтернативной
, где
— некоторая константа, отличная от нуля.
При этой альтернативе U-критерий является состоятельным.
Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения
описывает погрешности измерения одного значения, а
— другого. Однако во многих приложениях (в частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом.
U-критерий является непараметрическим аналогом критерия Стьюдента. Если выборки нормальные, то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента.
История
Критерий был предложен Ван-дер-Варденом в 1953 году
Литература
- ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика/Пер.с нем. — М.: Иностранная литература,1960 — 450 c.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
См. также
- Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
- Статистика (функция выборки)
- Критерий Стьюдента
Ссылки
![]() | Данная статья является непроверенным учебным заданием.
До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе. |