Участник:Lr2k/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 11:24, 18 октября 2008

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
- 2.1 Метод прогонки
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
5 Заключение
6 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Одной из значения функции $y(x)$ , равные $y(x_0)=y_0,\cdots,y(x_i)=y_i,\cdots,y(x_n)=y_n$ . Требуется построить иносновных задач численного анализа является задача об интерполяции функций. Пусть на отрезке $a\le \x\le \b$ задана сетка $\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b\}$ и в её узлах заданы терполянту — функцию $f(x)$ , совпадающую с функцией $y(x)$ в узлах сетки:

( 1 )

$f(x_i)=y_i, i=0,1,\cdots,n.$

Основная цель интерполяции — получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений $f(x)$ для значений $x$ , не содержащихся в таблице данных.

Интерполируюшие функции $f(x)$ , как правило строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций:

$f(x)=\sum_{k=0}^N {c_k\Phi_k(x)},$

где $\{\Phi_k(x)\}$ — фиксированный линейно независимые функции, $c_0, c_1, \cdots, c_n$ — не определенные пока коэффициенты.

Из условия (1) получаем систему из $n+1$ уравнений относительно коэффициентов $\{c_k\}$ :

$\sum_{k=0}^N {c_k\Phi_k(x_i)}=y_i, i=0,1,\cdots,n.$

Предположим, что система функций $\Phi_k(x)$ такова, что при любом выборе узлов $a<x_1<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b$ отличен от нуля определитель системы:

$\Delta(\Phi) = \begin{vmatrix} \Phi_0(x_0) & \Phi_1(x_0) & \cdots & \Phi_n(x_0) \\\Phi_0(x_1) & \Phi_1(x_1) & \cdots & \Phi_n(x_1)\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\Phi_0(x_n) & \Phi_1(x_n) & \cdots & \Phi_n(x_n)\end{vmatrix}$ .

Тогда по заданным $y_i (i=1,\cdots, n)$ однозначно определяются коэффициенты $c_k (k=1,\cdots, n)$ .

Изложение метода

Интерполяция кубическими сплайнами является частным случаем кусочно-полиномиальной интерполцией. В этом специальном случае между любыми двумя соседними узлами функция интерполируется кубическим полиномом. его коэффициенты на каждом интервале определяются из условий сопряжения в узлах:

$f_i=y_i, f'(x_i-0)=f'(x_i+0), f''(x_i-0)=f''(x_i+0), i=1, 2, \cdots, n-1.$

Кроме того, на границе при $x=x_0$ и $x=x_n$ ставятся условия

( 2 )

$f''(x_0)=0, f''(x_n)=0.$

Будем искать кубический полином в виде

( 3 )

$f(x)=a_i+b_i(x-x_{i-1})+c_i(x-x_{i-1})^2+d_i(x-x_{i-1})^3, x_{i-1}\le \x\le \x_i.$

Из условия $f_i=y_i$ имеем

( 4 )

$f(x_{i-1})=a_i=y_{i-1}, f(x_i)=a_i+b_ih_i+c_ih_i^2+d_ih_i^3=y_i, h_i=x_i-x_{i-1}, i=1, 2, \cdots, n-1.$

Вычислим производные:

$f'(x)=b_i+2c_i(x-x_{i-1})+3d_i(x-x_{i-1})^2, f''(x)=2c_i+6d_i(x-x_{i-1}), x_{i-1}\le \x\le \x_i,$

и потребуем их непрерывности при $x=x_i$ :

( 5 )

$b_{i+1}=b_i+2c_ih_i + 3d_ih_i^2, c_{i+1}=c_i+3d_ih_i, i=1, 2, \cdots, n-1.$

Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно $4n$ , число уравнений (4) и (5) равно $4n-2$ . Недостающие два уравнения получаем из условия (2) при $x=x_0$ и $x=x_n$ :

$c_1=0, c_n+3d_nh_n=0.$

Выражение из (5) $d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3h_i}$ , подставляя это выражение в (4) и исключая $a_i=y_{i-1}$ , получим

$b_i=\[\frac{y_i-y_{i-1}}h_i\]-\frac{1}{3}h_i(c_{i+1}+2c_i), i=1, 2, \cdots, n-1, b_n=\[\frac{y_n-y_{n-1}}h_n\]-\frac{2}{3}h_nc_n,.$

Подставив теперь выражения для $b_i, b_{i+1}$ и $d_i$ в первую формулу (5), после несложных преобразований получаем для определения $c_i$ разностное уравнение второго порядка

( 6 )

$h_ic_i+2(h_i+h_{i+1})c_{i+1}+h_{i+1}c_{i+2}=s\left(\frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}} - \frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}}\right), i=1, 2, \cdots, n-1.$

С краевыми условиями

( 7 )

$c_1=0, c_{n+1}=0.$

Условие $c_{n+1}=0$ эквивалентно условию $c_n+3d_nh_n=0$ и уравнению $c_{i+1} = c_i+d_ih_i$ . Разностное уравнение (6) с условиями (7) можно решить методом прогонки, представив в виде системы линейных алгебраических уравнений вида $~A*x=F$ , где вектор $x$ соответствует вектору $\{c_i\}$ , вектор $F$ поэлементно равен правой части уравнения (6), а матрица $~A$ имеет следующий вид:

$A = \begin{pmatrix} C_1 & B_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ A_2 & C_2 & B_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & A_3 & C_3 & B_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & B_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & A_{n} & C_{n} \end{pmatrix},$

где $A_i=h_i, i=2, \cdots, n, B_i = h_{i+1}, i=1, \cdots, n-1$ и $C_i=2(h_i+h_{i+1}), i =1, \cdots, n$ .

Метод прогонки

Метод прогонки, основан на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

( 8 )

$x_i = \alpha_{i+1}x_{i+1} + \beta_{i+1}\, i=1,\cdots,n-1$

Используя это соотношение, выразим $x_{i-1}$ и $x_i$ через $x_{i+1}$ и подставим в i-e уравнение:

$\left(A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i\right)x_{i+1} + A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0$

где $F_i$ - правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

$A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i = 0$

$A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0$

Отсюда следует:

$\alpha_{i+1} = {-B_i \over A_i\alpha_i + C_i}\$

$\beta_{i+1} = {F_i - A_i\beta_i \over A_i\alpha_i + C_i}$

Из первого уравнения получим:

$\alpha_2 = {-B_1 \over C_1}$

$\beta_2 = {F_1 \over C_1}$

После нахождения прогоночных коэффициентов $\alpha$ и $\beta$ , используя уравнение (1), получим решение системы. При этом,

$x_n = {F_n-A_n\beta_n \over C_n+A_n\alpha_n}$

Числовой пример

Построим интерполянту для для функции $f$ , заданной следующим образом:

Вводные значения для задачи интерполяции

$x$	$f(x)$
1	1.0002
2	1.0341
3	0.6
4	0.40105
5	0.1
6	0.23975

Заключение

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Lr2k/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категории: Незавершённые статьи | Численное интегрирование

@@ Строка 95: / Строка 95: @@
 {{ eqno | 8 }}
 <p align="center"><tex>x_i = \alpha_{i+1}x_{i+1} + \beta_{i+1}\, i=1,\cdots,n-1</tex></p>
-  Используя это соотношение, выразим <tex>x_{i-1}</tex> и <tex>x_i</tex> через <tex>x_{i+1}</tex> и подставим
-в i-e уравнение:
+Используя это соотношение, выразим <tex>x_{i-1}</tex> и <tex>x_i</tex> через <tex>x_{i+1}</tex> и подставим в i-e уравнение:
-<p align="center"><tex>
+<p align="center"><tex>\left(A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i\right)x_{i+1} + A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0</tex></p>,
-   \left(A_i\alpha_i\alpha_{i+1} + C_i\alpha_{i+1} + B_i\right)x_{i+1} + A_i\alpha_i\beta_{i+1} + A_i\beta_i + C_i\beta_{i+1} - F_i = 0
-  </tex></p>,
 где <tex>F_i</tex> - правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Участник:Lr2k/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 11:24, 18 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Изложение метода

Метод прогонки

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты