Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона двухвыборочный

Материал из MachineLearning.

< Участник:Василий Ломакин(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Пример задачи
2 Описание критерия
3 Применение критерия
4 Критерий Уилкоксона и U-критерий Манна-Уитни
5 Примечания
6 Литература
7 Ссылки

Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы. Имеется аналог критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Пример задачи

Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является порядковой).

Описание критерия

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R};\; m \le n,$ в противном случае следует поменять выборки местами.

Дополнительные предположения: обе выборки простые, объединённая выборка независима;

Нулевая гипотеза $H_0:\; \mathbb{P} \{ x\ <\ y \} = 1/2.$

Вычисление статистики критерия:

Построить общий вариационный ряд объединённой выборки $x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}$ и найти ранги $r(x_i),\; r(y_i)$ всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
Рассчитать суммы рангов, соответствующих обеим выборкам:
$R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);$
$R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);$
Если размеры выборок совпадают ( $m=n$ ), то значение статистики $W$ будет равняется одной из сумм рангов $R_x$ или $R_y$ (любой). Если же выборки не равны, то $W = R_x$ , то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика $W$ линейно связана со статистикой U-критерия Манна-Уитни.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

Против альтернативы $H_1:\; \mathbb{P} \{ x\ <\ y \} \neq 1/2$ :

если $W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь $W_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль табличного распределения Уилкоксона с параметрами $m,\,n$ . ^[1]^[2]

Асимптотический критерий:

Критическая область двухвыборочного критерия Уилкоксона.

Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:

$\tilde W = \frac{W - \frac{m(m + n + 1)}{2}}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{12}}}$ ;

$\tilde W$ асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы $H_1$ ) отвергается, если $|\tilde W|\ >\ \Phi_{1-\alpha/2}$ , где $\Phi_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до $m = n = 8$ .^[3]

Случай совпадающих наблюдений:

При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:

$\left{ \frac{mn(n+m+1)}{12} \left[ 1 - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m+1)} \right] \right}^{1/2}.$ ^[4]^[5]

Здесь $k$ - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, $t_1, \ldots, t_k$ - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину $\tilde W$ не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1. Для элементов связок вычисляется средний ранг.

Поправка:^[6]

В 1976 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений, в том числе на малых выборках. Поправка использует полусумму нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим $N = n + m$ . Тогда:

$\tilde W^{*} = \frac12 \tilde W \left[ 1 + \sqrt{(n-2)(n - 1 - (\tilde W)^2)} \right]$ .

Гипотеза $H_0$ отвергается, если $\tilde W ^{*} \ge (x_{1-\alpha}+y_{1-\alpha})/2$ , где $x_{1-\alpha},\; y_{1-\alpha}$ обозначают соответственно квантили уровня $1-\alpha$ стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с $N-2$ степенью свободы.

Применение критерия

В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда $\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2$ , и средние выборок не совпадают.^[7] При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.^[8]

Критерий является аналогом критерия t-критерия Стьюдента для независимых выборок в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.

Критерий Уилкоксона и U-критерий Манна-Уитни

Статистики критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.^[9] Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Уилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,^[10], а в случае равных дисперсий применять U-критерий Манна-Уитни.^[11]

Проведём эксперимент: будем строить график достигаемого уровня значимости как функцию размера выборок и параметров распределения. Будем усреднять p-value по нескольким десяткам экспериментов.

Общие параметры для всех экспериментов:

Выборки генерируются независимо из нормального распределения с заданными параметрами.
Размер выборок варьируется от 50 до 500 с шагом 50.
Значение p-value усредняется по 50 экспериментам.
Размер выборки откладывается по вертикальной оси, переменный параметр по горизонтальной.

Тип критерия	Параметры эксперимента	График
U-критерий Манна-Уитни	Среднее первой выборки: 0. Среднее второй выборки: -3:0.3:3.^[12] Дисперсия первой выборки: 5. Дисперсия второй выборки: 5.
Критерий Уилкоксона	Среднее первой выборки: 0. Среднее второй выборки: -3:0.3:3. Дисперсия первой выборки: 5. Дисперсия второй выборки: 5.
U-критерий Манна-Уитни	Среднее первой выборки: 0. Среднее второй выборки: -30:3:30. Дисперсия первой выборки: 1. Дисперсия второй выборки: 50.
Критерий Уилкоксона	Среднее первой выборки: 0. Среднее второй выборки: -30:3:30. Дисперсия первой выборки: 1. Дисперсия второй выборки: 50.

Легко видеть, что при одинаковых параметрах экспериментов графики p-value критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни практически совпадают, в том числе и в случае, когда дисперсии выборок существенно различаются.

Примечания

↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 457 c.
↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 150 с.
↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.
↑ Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.
↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.
↑ Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 205-206 с.
↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.
↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.
↑ Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.
↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.
↑ Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.
↑ Запись вида $\alpha\;:\;\delta\;:\;\beta$ на языке Matlab обозначает выборку, составленную из чисел от $\alpha$ до $\beta$ c шагом $\delta$ .

Литература

Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 454-456 с.

Ссылки

Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни — аналогичный критерий.
Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Критерий Уилкоксона для связных выборок — аналог критерия для случая парных повторных наблюдений.

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%92%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D0%B8%D0%BD/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Критерий Уилкоксона двухвыборочный''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Выборки взяты из закона распределения, отличного от нормального, либо данные измерены с использованием нечисловой шкалы. Метод следует использовать, когда нет информации о дисперсии выборок. В случае равных дисперсий следует применять более мощный [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]]. Имеется [[Критерий_Уилкоксона_для_связных_выборок|аналог]] критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений.
+{{TOCright}}
+'''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) двухвыборочный''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием [[Теория измерений|порядковой шкалы]].  Имеется [[Критерий_Уилкоксона_для_связных_выборок|аналог]] критерия Уилкоксона для связанных повторных наблюдений. Критерий является [[Ранговый критерий|ранговым]], поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
 == Пример задачи ==
+Задача - сравнить две методики подготовки роженицы к родам. Сравнивается эффективность по оценке состояния новорожденного в баллах (шкала является [[Теория измерений|порядковой]]).
 == Описание критерия ==
@@ Строка 7: / Строка 11: @@
 Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R};\; m \le n,</tex> в противном случае следует поменять выборки местами.
-'''Дополнительное предположение:''' обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
+'''Дополнительные предположения:''' обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
-'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; </tex> обе выборки имеют одинаковое распеределение, то есть извлечены из одной генеральной совокупности. Следствием этого является равенство средних.
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{ x\ <\ y \} = 1/2. </tex>
 '''Вычисление статистики критерия:'''
@@ Строка 16: / Строка 20: @@
 #:<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);</tex>
 #:<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);</tex>
-# Если размеры выборок совпадают (<tex>m=n</tex>), то значение статистики <tex>W</tex> будет равняется одной из сумм рангов <tex>R_x</tex> или <tex>R_y</tex> (любой).
+# Если размеры выборок совпадают (<tex>m=n</tex>), то значение статистики <tex>W</tex> будет равняется одной из сумм рангов <tex>R_x</tex> или <tex>R_y</tex> (любой). Если же выборки не равны, то <tex>W = R_x</tex>, то есть сумме рангов, соответствующей меньшей выборке. Заметим, что статистика <tex>W</tex> линейно связана со статистикой [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерия Манна-Уитни]].
 '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-Против альтернативы <tex>H_1:\;</tex> ????
+Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x\ <\ y \} \neq 1/2</tex>:
-:если <tex>W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]</tex> , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь <tex>W_{\alpha}</tex>  есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона с параметрами <tex>m,\,n</tex>.
+:если <tex>W \notin \left[ W_{\alpha/2},\,W_{1-\alpha/2} \right]</tex> , то нулевая гипотеза отвергается. Здесь <tex>W_{\alpha}</tex>  есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона с параметрами <tex>m,\,n</tex>. <ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 457 c.</ref><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 150 с.</ref>
-'''Асимптотический критерий''':
+'''Асимптотический критерий:'''
+[[Изображение:Standard_Normal_Density_-_Double-sided_Critical_Area.png|thumb|Критическая область двухвыборочного критерия Уилкоксона.]]
 Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
-:<tex>\tilde W = \frac{2W - m(m + n + 1) + 1}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{3}}}</tex>;
+:<tex>\tilde W = \frac{W - \frac{m(m + n + 1)}{2}}{sqrt{\frac{mn(m + n + 1)}{12}}}</tex>;
+<tex>\tilde W</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> |\tilde W|\ >\ \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, где <tex>\Phi_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
+Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до <tex>m = n = 8</tex>.<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 161 с.</ref>
+'''Случай совпадающих наблюдений:'''
+При наличии [[Вариационный ряд|связок]] необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе необходимо заменить на следующее:
+:<tex>\left{ \frac{mn(n+m+1)}{12} \left[ 1 - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(n+m)(n+m-1)(n+m+1)} \right] \right}^{1/2}.</tex><ref>Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — 454 c.</ref><ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 206 с.</ref>
+:Здесь <tex>k</tex> - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, <tex>t_1, \ldots, t_k</tex> - их размеры. Совпадения, целиком состоящие из элементов одной и той же выборки, на величину <tex>\tilde W</tex> не влияют. Наблюдения, не совпадающие с другими, рассматриваются как связки размера 1. Для элементов связок вычисляется [[Вариационный ряд|средний ранг]].
+'''Поправка:'''<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 205-206 с.</ref>
+В 1976 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений, в том числе на малых выборках. Поправка использует полусумму нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим <tex>N = n + m</tex>. Тогда:
+:<tex>\tilde W^{*} = \frac12 \tilde W \left[ 1 + \sqrt{(n-2)(n - 1 - (\tilde W)^2)} \right]</tex>.
+Гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается, если <tex>\tilde W ^{*} \ge (x_{1-\alpha}+y_{1-\alpha})/2</tex>, где <tex>x_{1-\alpha},\; y_{1-\alpha}</tex> обозначают соответственно квантили уровня <tex>1-\alpha</tex> стандартного нормального распределения и [[Распределение Стьюдента|распределения Стьюдента]] с <tex>N-2</tex> степенью свободы.
+== Применение критерия ==
+В биологических и эконометрических приложениях метод часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух независимых выборок. Вообще говоря, данное использование критерия некорректно. Можно построить примеры, когда <tex>\mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2</tex>, и средние выборок не совпадают.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 79 с.</ref> При этом надо заметить, что данный недостаток не является редкостью, о многих популярных в математической статистике критериях можно сказать, что они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 83 с.</ref>
+Критерий является аналогом критерия [[Критерий Стьюдента|t-критерия Стьюдента для независимых выборок]] в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных с использованием порядковой шкалы. Для нормально распределённых совокупностей следует использовать более мощный t-критерий.
+== Критерий Уилкоксона и [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]] ==
+Статистики критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни линейно связаны, поэтому, по сути, нет смысла говорить о двух различных критериях.<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — 75 c.</ref> Оба они проверяют одну и ту же гипотезу и их границы применимости также совпадают. В то же время в литературе можно встретить рекомендации использовать критерий Уилкоксона для проверки равенства средних, когда нет предположений о дисперсиях,<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 160 с.</ref>, а в случае равных дисперсий применять [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 118 с.</ref>
+Проведём эксперимент: будем строить график [[Достигаемый уровень значимости|достигаемого уровня значимости]] как функцию размера выборок и параметров распределения. Будем усреднять p-value по нескольким десяткам экспериментов.
+Общие параметры для всех экспериментов:
+* Выборки генерируются независимо из нормального распределения с заданными параметрами.
+* Размер выборок варьируется от 50 до 500 с шагом 50.
+* Значение p-value усредняется по 50 экспериментам.
+* Размер выборки откладывается по вертикальной оси, переменный параметр по горизонтальной.
+{| class="standard"
+ !Тип критерия
+ !Параметры эксперимента
+ !График
+ |-
+ |align="center"|[[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]]
+ |Среднее первой выборки: 0.
+Среднее второй выборки: -3:0.3:3.<ref>Запись вида <tex>\alpha\;:\;\delta\;:\;\beta</tex> на языке [[Matlab]] обозначает выборку, составленную из чисел от <tex>\alpha</tex> до <tex>\beta</tex> c шагом <tex>\delta</tex>.</ref>
+Дисперсия первой выборки: 5.
+Дисперсия второй выборки: 5.
+ |[[Изображение:UNorm_50-50-1000_0_-3-0.3-3_5_5_50.png|400px]]
+ |-
+ |align="center"|Критерий Уилкоксона
+ |Среднее первой выборки: 0.
+Среднее второй выборки: -3:0.3:3.
+Дисперсия первой выборки: 5.
+Дисперсия второй выборки: 5.
+ |[[Изображение:WNorm 50-50-1000 0 -3-0.3-3 5 5 50.png|400px]]
+ |-
+ |align="center"|[[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]]
+ |Среднее первой выборки: 0.
+Среднее второй выборки: -30:3:30.
+Дисперсия первой выборки: 1.
+Дисперсия второй выборки: 50.
+ |[[Изображение:UNorm 50-50-1000 0 -30-3-30 1 50 50.png|400px]]
+ |-
-<tex>\tilde W</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> |\tilde W| > \Phi_{1-\alpha/2} </tex>. <tex>\Phi_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
+ |align="center"|Критерий Уилкоксона
+ |Среднее первой выборки: 0.
-Приближение можно использовать, если размер хотя бы одной из выборок превышает 25. Если размеры выборок равны, то данная аппроксимация хорошо работает до <tex>m = n = 8</tex>.
+Среднее второй выборки: -30:3:30.
-При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:
+Дисперсия первой выборки: 1.
-:<tex>\frac{mn}{12}(m + n + 1) - \frac{\sum^k_{i = 1}t_i(t_i^2-1)}{(m + n)(m + n + 1)},</tex>
+Дисперсия второй выборки: 50.
-:где <tex>k</tex> - количество только тех связок, в которые входят ранги как одной, так и другой выборок, <tex>t_1, \ldots, t_k</tex> - их размеры.
+ |[[Изображение:WNorm 50-50-1000 0 -30-3-30 1 50 50.png|400px]]
+ |}
-== Свойства и границы применимости критерия ==
+Легко видеть, что при одинаковых параметрах экспериментов графики p-value критериев Уилкоксона и Уилкоксона-Манна-Уитни практически совпадают, в том числе и в случае, когда дисперсии выборок существенно различаются.
-== История ==
+== Примечания ==
+<references/>
 == Литература ==
 # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.
 # ''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 160-164 с.
+# ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5.
+# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 454-456 с.
 == Ссылки ==
+* [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]] — аналогичный критерий.
 * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
+* [[Критерий Уилкоксона для связных выборок]] — аналог критерия для случая парных повторных наблюдений.

Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона двухвыборочный

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Пример задачи

Описание критерия

Применение критерия

Критерий Уилкоксона и U-критерий Манна-Уитни

Примечания

Литература

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты