Обсуждение участника:Imil Baltaniazov

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

```

Статья написана с использованием LLM Claude Sonnet 5 и проверена участником Imil Baltaniazov 15:56, 10 июля 2026 (MSD)

Нормализация признаков и стандартизация признаков (обобщённо — масштабирование признаков, англ. feature scaling) — методы предварительной обработки данных, приводящие числовые признаки к сопоставимому диапазону значений или к сопоставимой статистической форме распределения. Масштабирование не меняет информативность признака в статистическом смысле (взаимную связь с целевой переменной), но существенно влияет на поведение многих алгоритмов машинного обучения — от скорости сходимости градиентных методов до корректности работы регуляризации и методов, основанных на расстояниях между объектами.

В литературе термины употребляются не вполне единообразно. В узком смысле нормализацией называют приведение признака к фиксированному диапазону, чаще всего $[0,1]$ (min-max scaling), а стандартизацией — приведение к нулевому среднему и единичной дисперсии (z-score). В широком смысле оба термина нередко используются как синонимы для обозначения любого масштабирования признаков; в данной статье эти понятия разграничиваются в узком, более строгом смысле. Наряду с ними рассматривается робастное масштабирование и ряд специализированных преобразований (MaxAbsScaler, PowerTransformer, QuantileTransformer), реализованных, в частности, в модуле sklearn.preprocessing библиотеки scikit-learn.

Содержание

1 Постановка задачи
2 Нормализация (min-max scaling)
3 Стандартизация (z-score)
4 Робастное масштабирование
5 Другие методы
6 Влияние на алгоритмы
7 Влияние на регуляризацию
8 Сравнение методов
9 Пример: подготовка данных для логистической регрессии в задаче прогнозирования оттока клиентов
10 Практические рекомендации
11 См. также
12 Литература

Постановка задачи

Признаки, описывающие объекты реального мира, как правило, измерены в разных единицах и имеют разные диапазоны значений. Рассмотрим задачу классификации клиентов банка, где каждый объект описывается двумя признаками — возрастом (в годах) и месячным доходом (в рублях):

Клиент	Возраст, лет	Доход, руб./мес.
Иванов	25	45 000
Петров	45	47 000

Возраст изменяется в диапазоне единиц-десятков, доход — в диапазоне десятков тысяч. Если вычислить евклидово расстояние между объектами без предварительного масштабирования:

$d = \sqrt{(45-25)^2 + (47000-45000)^2} = \sqrt{400 + 4\,000\,000} \approx 2000{,}1$

признак «возраст» практически не вносит вклада в итоговое расстояние: его слагаемое (400) на четыре порядка меньше слагаемого дохода (4 000 000). Для любого метода, опирающегося на расстояния между объектами — метода ближайших соседей, метода опорных векторов, кластеризации методом k-средних, метода главных компонент — это означает, что признак с большим численным диапазоном будет доминировать в решении независимо от его действительной значимости для задачи.

Аналогичная проблема возникает при обучении моделей градиентными методами. Функция потерь как функция параметров модели образует в пространстве весов некоторую поверхность; при сильно различающихся масштабах признаков линии уровня этой поверхности превращаются в вытянутые эллипсы с большим числом обусловленности гессиана. Градиентный спуск на такой поверхности движется зигзагообразно, и для достижения минимума требуется существенно больше итераций либо очень малый шаг обучения. После масштабирования признаков линии уровня приближаются по форме к окружностям, направление антиградиента указывает более точно на минимум, и сходимость ускоряется — этот эффект хорошо задокументирован для линейной и логистической регрессии, а также для нейронных сетей.

Нормализация (min-max scaling)

Min-max scaling линейно преобразует признак так, чтобы его значения попали в заданный диапазон, чаще всего $[0,1]$ :

$x' = \frac{x - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}$

где $x_{min}$ и $x_{max}$ — минимальное и максимальное значен ия признака на обучающей выборке. Для произвольного целевого диапазона $[a,b]$ формула обобщается:

$x' = a + \frac{(x - x_{min})(b-a)}{x_{max} - x_{min}}$

Метод сохраняет форму исходного распределения (все относительные расстояния между значениями пропорционально сжимаются или растягиваются), что удобно, когда диапазон признака имеет содержательный смысл — например, для признаков, ограниченных по своей природе (доля, вероятность, пиксельная интенсивность 0–255), а также при подготовке входов для нейронных сетей с сигмоидными или иными ограниченными функциями активации.

Существенный недостаток — высокая чувствительность к выбросам, поскольку $x_{min}$ и $x_{max}$ определяются единственными экстремальными наблюдениями. Продемонстрируем это на выборке значений дохода (тыс. руб.): 30, 45, 50, 55, 60, 65, 400, где последнее значение — аномально высокий доход.

Здесь $x_{min}=30$ , $x_{max}=400$ , диапазон равен 370. После min-max масштабирования:

Исходное значение	После Min-Max
30	0,000
45	0,041
50	0,054
55	0,068
60	0,081
65	0,095
400 (выброс)	1,000

Единственный выброс растянул диапазон настолько, что все «типичные» значения оказались сжаты в узкий интервал $[0;\,0{,}095]$ и стали практически неразличимы для алгоритма. Это ключевое ограничение метода: перед его применением рекомендуется отдельно проверить данные на наличие выбросов (см. выбросы).

В scikit-learn метод реализован классом MinMaxScaler:

<syntaxhighlight lang="python"> from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler

scaler = MinMaxScaler(feature_range=(0, 1)) X_scaled = scaler.fit_transform(X) </syntaxhighlight>

Стандартизация (z-score)

Стандартизация (z-score normalization) центрирует признак относительно среднего и масштабирует его по стандартному отклонению:

$x' = \frac{x - \mu}{\sigma}$

где

$\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}$

После преобразования признак имеет нулевое среднее и единичную дисперсию: $\mathbb{E}[x']=0$ , $\mathrm{Var}[x']=1$ . Величина $x'$ показывает, на сколько стандартных отклонений исходное значение отстоит от среднего, что делает интерпретацию наглядной при приближённо нормальном распределении признака: согласно правилу «трёх сигм» около 68 % значений попадают в интервал $[-1,1]$ , около 95 % — в $[-2,2]$ . При этом сама по себе стандартизация не делает распределение нормальным — она лишь центрирует и масштабирует его, сохраняя исходную форму (асимметрию, эксцесс).

Продолжим пример с доходом. Для выборки {30, 45, 50, 55, 60, 65, 400} среднее $\mu \approx 100{,}71$ , стандартное отклонение $\sigma \approx 122{,}63$ . После стандартизации:

Исходное значение	После Z-score
30	−0,577
45	−0,454
50	−0,414
55	−0,373
60	−0,332
65	−0,291
400 (выброс)	2,441

По сравнению с min-max масштабированием типичные значения распределены несколько шире (интервал $[-0{,}58;\,-0{,}29]$ против $[0;\,0{,}095]$ ), однако среднее и стандартное отклонение по-прежнему вычисляются с учётом выброса, а значит, остаются им искажены.

Стандартизация — метод по умолчанию для линейных и логистических моделей с регуляризацией, метода опорных векторов, метода главных компонент и линейного дискриминантного анализа, а также для большинства архитектур нейронных сетей. В отличие от min-max scaling, результат не ограничен фиксированным диапазоном, что не создаёт проблем при появлении на этапе применения модели значений, выходящих за пределы диапазона обучающей выборки.

<syntaxhighlight lang="python"> from sklearn.preprocessing import StandardScaler

scaler = StandardSca ler() X_scaled = scaler.fit_transform(X) </syntaxhighlight>

Стоит отметить, что StandardScaler в scikit-learn по умолчанию вычисляет смещённую (population) дисперсию, то есть делит сумму квадратов отклонений на $n$ , а не на $n-1$ .

Робастное масштабирование

Робастное масштабирование (robust scaling) использует вместо среднего и стандартного отклонения статистики, устойчивые к выбросам, — медиану и межквартильный размах (IQR):

$x' = \frac{x - Q_2}{Q_3 - Q_1}$

где $Q_2$ — медиана (второй квартиль), $Q_1$ и $Q_3$ — первый и третий квартили, а разность $Q_3-Q_1$ — межквартильный размах (IQR), охватывающий центральные 50 % наблюдений.

Медиана и квартили — порядковые статистики, устойчивые к экстремальным значениям: смещение одного выброса в область бесконечности практически не меняет положение медианы или границ IQR, поскольку эти величины определяются не самими значениями, а их рангом в отсортированной выборке.

Завершим сквозной пример с доходом. Для выборки {30, 45, 50, 55, 60, 65, 400}: медиана $Q_2=55$ , $Q_1=45$ , $Q_3=65$ , IQR $=20$ . Сведём все три метода в одну таблицу:

Исходное значение	Min-Max	Z-score	Robust
30	0,000	−0,577	−1,25
45	0,041	−0,454	−0,50
50	0,054	−0,414	−0,25
55	0,068	−0,373	0,00
60	0,081	−0,332	0,25
65	0,095	−0,291	0,50
400 (выброс)	1,000	2,441	17,25

Различие хорошо видно: под min-max и z-score основная масса «нормальных» значений сжата в узкий интервал из-за влияния выброса на $x_{max}$ , $\mu$ и $\sigma$ . Робастное масштабирование, напротив, не изменило относительное расположение типичных значений (интервал $[-1{,}25;\,0{,}5]$ пропорционален исходным различиям), а выброс получил большое по модулю, но не искажающее остальные данные значение — 17,25, что само по себе может служить сигналом об аномалии. Ценой этой устойчивости является то, что робастное масштабирование не гарантирует единичной дисперсии преобразованного признака и хуже подходит там, где важна именно эта статистическая интерпретация.

<syntaxhighlight lang="python"> from sklearn.preprocessing import RobustScaler

scaler = RobustScaler(quantile_range=(25.0, 75.0)) X_scaled = scaler.fit_transform(X) </syntaxhighlight>

Другие методы

Помимо трёх базовых подходов, в scikit-learn реализован ряд специализированных преобразований.

MaxAbsScaler делит значения признака на максимальный модуль:

$x' = \frac{x}{|x_{max}|}$

Результат попадает в диапазон $[-1,1]$ . Важное свойство — преобразование не сдвигает данные (не вычитает среднее или минимум), поэтому нулевые значения остаются нулевыми. Это делает MaxAbsScaler предпочтительным для разреженных матриц (например, TF-IDF представлений текста), где сохранение разреженности критично для памяти и скорости вычислений.

PowerTransformer — семейство нелинейных степенных преобразований, приближающих распределение признака к нормальному и стабилизирующих дисперсию. Преобразование Бокса — Кокса (Box-Cox) определено только для строго положительных значений:

$x^{(\lambda)} = \begin{cases} \dfrac{x^{\lambda} - 1}{\lambda}, & \lambda \neq 0 \\[4pt] \ln x, & \lambda = 0 \end{cases}$

Параметр $\lambda$ подбирается по данным (обычно методом максимального правдоподобия). Преобразование Йео — Джонсона (Yeo-Johnson) — обобщение, допускающее нулевые и отрицательные значения:

$x^{(\lambda)} = \begin{cases} \dfrac{(x+1)^{\lambda} - 1}{\lambda}, & \lambda \neq 0,\ x \geq 0 \\[4pt] \ln(x+1), & \lambda = 0,\ x \geq 0 \\[4pt] -\dfrac{(-x+1)^{2-\lambda} - 1}{2-\lambda}, & \lambda \neq 2,\ x < 0 \\[4pt] -\ln(-x+1), & \lambda = 2,\ x < 0 \end{cases}$

Оба преобразования полезны для сильно асимметричных признаков (доход, число визитов, время ожидания), особенно для моделей, чувствительных к форме распределения.

QuantileTransformer строит нелинейное отображение на основе эмпирической функции распределения признака, приводя его к равномерному либо нормальному распределению. Метод наиболее агрессивно устраняет влияние выбросов и асимметрии, поскольку опирается только на ранги наблюдений, но может исказить взаимосвязи между признаками (нелинейное преобразование не сохраняет корреляции) и чувствителен к объёму обучающей выборки.

<syntaxhighlight lang="python"> from sklearn.preprocessing import MaxAbsScaler, PowerTransformer, QuantileTransformer

pt = PowerTransformer(method="yeo-johnson") X_pt = pt.fit_transform(X)

qt = QuantileTransformer(output_distribution="normal") X_qt = qt.fit_transform(X) </syntaxhighlight>

Влияние на алгоритмы

Чувствительность к масштабу признаков существенно различается между семействами алгоритмов.

Чувствительность алгоритмов машинного обучения к масштабу признаков
Алгоритм	Чувствительность	Обоснование
Линейная / логистическая регрессия с регуляризацией	Высокая	Регуляризационный штраф зависит от масштаба коэффициентов, который, в свою очередь, зависит от масштаба признаков
Метод опорных векторов (SVM)	Высокая	Построение разделяющей гиперплоскости и ядровые функции опираются на евклидово расстояние между объектами
Метод ближайших соседей (KNN)	Высокая	Классификация непосредственно основана на расстояниях между объектами в признаковом пространстве
Метод главных компонент (PCA)	Высокая	Направления максимальной дисперсии определяются абсолютным масштабом признаков, а не их относительной значимостью
Кластеризация методом k-средних	Высокая	Формирование кластеров основано на расстояниях до центроидов
Нейронные сети (градиентное обучение)	Высокая (влияет на скорость и устойчивость сходимости)	Разномасштабные входы приводят к вытянутому рельефу функции потерь и неравномерным градиентам по слоям
Деревья решений	Низкая	Разбиения строятся по пороговым значениям одного признака независимо от масштаба остальных
Случайный лес	Низкая	Ансамбль деревьев решений, наследует их инвариантность к монотонным преобразованиям признаков
Градиентный бустинг (XGBoost, LightGBM, CatBoost)	Низкая	Также опирается на пороговые разбиения по отдельным признакам
Наивный байесовский классификатор	Низкая / умеренная	Оценивает распределение каждого признака отдельно; масштаб не влияет на итоговую разделяющую способность

Общая закономерность: методы, основанные на пороговых разбиениях одного признака (деревья и их ансамбли), инвариантны к любому монотонному преобразованию масштаба, тогда как методы, использующие расстояния, скалярные произведения или градиентную оптимизацию, чувствительны к нему напрямую.

Влияние на регуляризацию

L1- и L2-регуляризация штрафуют величину коэффициентов модели. Для линейной регрессии с L2-штрафом (гребневая регрессия) функционал имеет вид:

$L(\beta) = \sum_{i=1}^{n}\left(y_i - \beta_0 - \sum_{j=1}^{p}\beta_j x_{ij}\right)^2 + \lambda \sum_{j=1}^{p}\beta_j^2$

а для L1-регуляризации (лассо) — соответственно с штрафом $\lambda\sum_{j}|\beta_j|$ . В обоих случаях величина штрафа зависит исключительно от численного значения коэффициента $\beta_j$ , а не от того, насколько признак $x_j$ в действительности значим для предсказания.

Проблема в том, что масштаб коэффициента обратно пропорционален масштабу признака: если признак измерен в рублях с диапазоном значений порядка $10^5$ – $10^6$ , соответствующий ему коэффициент естественным образом окажется очень малым (порядка $10^{-5}$ –< tex>10^{-6}</tex>) просто для того, чтобы вклад $\beta_j x_j$ в предсказание оставался разумной величины. Признак же, измеренный в единицах (например, число визитов в месяц), потребует коэффициента на несколько порядков больше. Регуляризация в этом случае штрафует признаки неравномерно — не пропорционально их реальной значимости, а обратно пропорционально их естественному масштабу: крупномасштабные признаки получают заниженный (и потому слабо штрафуемый) коэффициент, тогда как мелкомасштабные — завышенный и, соответственно, сильнее подавляемый. Особенно чувствительно к этому L1-регуляризация: поскольку она способна обнулять коэффициенты полностью, отбор признаков при несогласованных масштабах оказывается смещённым в пользу признаков с большим численным диапазоном, а не в пользу признаков с наибольшей предсказательной силой.

Именно поэтому стандартизация признаков перед обучением регуляризованных линейных моделей считается стандартной практикой: приведение всех признаков к единичной дисперсии уравнивает условия, при которых регуляризационный штраф применяется к каждому из них, и делает итоговые коэффициенты сопоставимыми как меры относительной значимости признаков.

Сравнение методов

Метод	Формула	Диапазон результата	Устойчивость к выбросам	Основные плюсы	Основные минусы
Min-Max	$x'=\frac{x-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}$	$[0,1]$ (настраиваемый)	Низкая	Фиксированный, интерпретируемый диапазон; сохраняет форму распределения	Сильно искажается единичными выбросами; новые данные вне обучающего диапазона выходят за границы
Z-score	$x'=\frac{x-\mu}{\sigma}$	Теоретически не ограничен (практически [-3,3])	Умеренная	Стандарт для линейных моделей, SVM, PCA, нейросетей; интерпретация в единицах стандартного отклонения	Среднее и дисперсия чувствительны к выбросам
Robust	$x'=\frac{x-Q_2}{Q_3-Q_1}$	Не ограничен	Высокая	Устойчив к выбросам и асимметрии распределения	Не даёт единичной дисперсии; менее привычная интерпретация
MaxAbs	$x'=\frac{x}{\|x_{max}\|}$	$[-1,1]$	Низкая	Сохраняет разреженность данных (нули остаются нулями)	Чувствителен к выбросам, как и Min-Max
PowerTransformer	нелинейное степенное преобразование	Приближается к нормальному распределению	Умеренная	Снижает асимметрию, стабилизирует дисперсию	Box-Cox требует строго положительных значений; интерпретация затруднена
QuantileTransformer	преобразование по эмпирической функции распределения	$[0,1]$ либо нормальное	Высокая	Полностью устраняет влияние выбросов и асимметрии	Нелинейно; может исказить взаимосвязи между признаками, риск переобучения на малых выборках

Пример: подготовка данных для логистической регрессии в задаче прогнозирования оттока клиентов

Рассмотрим упрощённый набор данных телекоммуникационной компании для задачи прогнозирования оттока (churn) с двумя признаками — стажем обслуживания (в месяцах) и ежемесячным платежом (в рублях):

Клиент	Стаж, мес.	Платёж, руб./мес.	Отток
1	2	3 500	1
2	34	1 200	0
3	58	4 200	0
4	4	900	1
5	45	5 600	0

Стаж имеет среднее $\mu \approx 28{,}6$ и стандартное отклонение $\sigma \approx 22{,}25$ ; платёж — среднее $\mu \approx 3080$ и стандартное отклонение $\sigma \approx 1792{,}65$ . После стандартизации по формуле $x' = (x-\mu)/\sigma$ :

Клиент	Стаж (станд.)	Платёж (станд.)	Отток
1	−1,196	0,234	1
2	0,243	−1,049	0
3	1,321	0,625	0
4	−1,106	−1,216	1
5	0,737	1,406	0

До масштабирования диапазон платежа (900–5600) на два порядка превышает диапазон стажа (2–58). При обучении логистической регрессии градиентными методами это означа ет, что частная производная функции потерь по коэффициенту при платеже на несколько порядков отличается по величине от производной по коэффициенту при стаже, и без индивидуальной настройки шага обучения для каждого признака сходимость существенно замедляется. Кроме того, при использовании L2- или L1-регуляризации коэффициент при платеже, обученный на исходных данных, будет иметь порядок $10^{-4}$ , а коэффициент при стаже — порядок $10^{-2}$ – $10^{-1}$ ; сравнение таких коэффициентов напрямую ничего не говорит об относительной значимости признаков. После стандартизации оба признака приведены к общему масштабу (нулевое среднее, единичная дисперсия), их вклад в предсказание и в регуляризационный штраф сопоставим, а абсолютные значения обученных коэффициентов допустимо интерпретировать как меру относительной важности признака при фиксированной силе регуляризации.

<syntaxhighlight lang="python"> from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.linear_model import LogisticRegression from sklearn.pipeline import Pipeline

pipeline = Pipeline([

   ("scaler", StandardScaler()),
   ("model", LogisticRegression(penalty="l2", C=1.0))

]) pipeline.fit(X_train, y_train) </syntaxhighlight>

Существен методический момент: параметры масштабирования ( $\mu$ , $\sigma$ , $x_{min}$ , $x_{max}$ , $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ ) должны вычисляться исключительно на обучающей выборке методом fit и затем применяться к валидационной и тестовой выборкам методом transform, без повторного вычисления статистик на них. Нарушение этого правила приводит к утечке информации из тестовой выборки в процесс обучения (data leakage) и завышенной оценке качества модели.

Практические рекомендации

Для линейных и логистических моделей с регуляризацией — стандартизация (z-score); при наличии выраженных выбросов — робастное масштабирование.
Для метода опорных векторов, метода ближайших соседей, k-средних и метода главных компонент — стандартизация практически обязательна, поскольку эти методы напрямую оперируют расстояниями или дисперсией.
Для деревьев решений, случайного леса и градиентного бустинга — масштабирование, как правило, не требуется, поскольку эти алгоритмы инвариантны к монотонным преобразованиям отдельных признаков.
Для нейронных сетей — стандартизация или min-max scaling к диапазону $[0,1]$ либо $[-1,1]$ , в зависимости от функций активации; для сверточных сетей, работающих с изображениями, min-max к $[0,1]$ — стандартная практика.
При наличии выбросов, которые не являются ошибками измерения и должны быть сохранены в выборке, — робастное масштабирование или QuantileTransformer вместо min-max и z-score.
Для разреженных данных (например, TF-IDF, one-hot представления с большим числом признаков) — MaxAbsScaler, не разрушающий разреженность, в отличие от методов, включающих центрирование.
При сильной асимметрии распределения признака (доход, время ожидания, количество событий) — PowerTransformer перед стандартизацией.
Параметры масштабирования всегда вычисляются на обучающей выборке и фиксируются для последующего применения к новым данным; включение шага масштабирования в единый конвейер (sklearn.pipeline.Pipeline) снижает риск утечки данных при кросс-валидации.

См. также

Литература

Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction. — 2nd ed. — Springer, 2009.
Bishop C. M. Pattern Recognition and Machine Learning. — Springer, 2006.
Géron A. Hands-On Machine Learning with Scikit-Learn, Keras, and TensorFlow. — 3rd ed. — O'Reilly, 2022.
Zheng A., Casari A. Feature Engineering for Machine Learning.

Microsoft Azure Web App - Error 404 pipeline.fit — O'Reilly, 2018.

Box G. E. P., Cox D. R. An Analysis of Transformations // Journal of the Royal Statistical Society, Series B. — 1964. — Vol. 26, No. 2.
Yeo I.-K., Johnson R. A. A New Family of Power Transformations to Improve Normality or Symmetry // Biometrika. — 2000. — Vol. 87, No. 4.
Ioffe S., Szegedy C. Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift // Proceedings of the 32nd International Conference on Machine Learning (ICML). — 2015.
Scikit-learn developers. Preprocessing data // Scikit-learn User Guide. — scikit-learn.org/stable/modules/preprocessing.html

```

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0:Imil_Baltaniazov»

Категории: Машинное обучение | Предобработка данных