Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Уважаемые коллеги!

Эта статья изобилует грубыми математическими ошибками (начиная с непонимания самой сути математического доказательства), как и другие статьи того же автора:

Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
Парадоксы мультиномиального распределения
Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Парадоксы биномиального распределения
Биномиальное распределение двух случайных величин

Удалить это безобразие и забанить автора — самое простое решение. Есть и другой вариант — попробовать помочь всем миром и написать коллективную рецензию, объяснив автору его ошибки. Для этого есть страницы Обсуждений статей и Обсуждение участника:Vitsemgol. Это большая работа, непосильная для одного человека, но для сообщества вполне осуществимая. Коллеги, давайте отнесёмся к проблеме как к исследованию. Есть несколько открытых вопросов, которые бросают нам вызов. Упрощает ли Вики задачу интегрирования «непризнанного гения» в профессиональное сообщество? Способен ли человек, ворвавшийся в чужой монастырь со своим уставом, покаяться и услышать, что ему скажут? Откликнется ли хоть кто-то из сообщества? Хватит ли нам всем терпимости? Это добрый эксперимент, дорогие коллеги! Как Администратор, предупреждаю: увижу «войну правок», эмоции и прочие проявления непрофессионализма — прекращу эксперимент как неудачный и удалю всё. — К.В.Воронцов 02:49, 4 ноября 2013 (MSK)

Содержание

1 Определение
2 Два способа получения вероятностей биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- 2.1 Первый способ
- 2.2 Второй способ
3 Два способа получения математического ожидания биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
- 3.1 Первый способ
- 3.2 Второй способ
4 Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами
5 Биномиальное распределение как цепь Маркова
6 Наиболее интересные этапы становлнения биномиального и мультиномиального распределений
7 См.также

Определение

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли — совместное распределение двух случайных величин, первая независимая, а вторая зависимая от первой

$\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},$

$i=1,2=k, \quad 2\le k \le n,$

определённых на точечных пространствах элементарных событий

$\Omega_1, \quad \Omega _2$

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени

$t_1, \quad t_2, \quad t_i<t_{i+1}$

целые неотрицательные значения

$n_1, \quad n_2,$

с равновероятными успехами

$p_1=p_2=2^{-1},\quad p_1+p_2=1,$

соответствующих распределений Бернулли и взаимосвязанные условием

$n_1+n_2=n <\infty,$

согласно которому

$t_2, X_2=n_2 \mid t_1, X_1=n_1$

если в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла случайное значение $n _1, \quad 0\le n_1\le n$ , то во второй момент времени $t_2,\quad t_2> t_1$ вторая случайная величина $X_2$ вынуждена принять единственно возможное значение $n_2=n-n_1, \quad 0\le n_2=n-n_1\le n$ .

Пояснение

Вероятность первой случайной величины $X_1$ , принявшей в первый момент времени $t_1$ числовое значение $n_1$ , равна числу сочетаний из $n$ по $n_1$ ${n \choose n_1}$ , умноженному на вероятность выбора одного элемента $p_1=2^{-1}$ , возведённую в степень числа $n_1$ выбранных элементов

$P_1( t_1,X_1=n_1)= {n \choose n_1}p_1^{n_1}= {n \choose n_1}2^{-n_1}.$

Вероятность второй случайной величины $X_2$ принимает во второй момент времени $t_2$ числовое значение $n_2=n-n_1$ при условии, что в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла числовое значение $n_1$ равна числу сочетаний из $n-n_1$ по $n_2=n-n_1$ ${n-n_1 \choose n_2=n-n_1}= {n-n_1 \choose n-n_1}=1$ , умноженному на вероятность выбора одного элемента $p_2=2^{-1}$ , возведённую в степень числа $n_2$ выбранных элементов

$P_2(t_2,X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)=p_2^{n_2}= 2^{-n_2}.$

Произведение вероятностей первой и второй случайных величин есть вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

$P_1( t_1,X_1=n_1) P_2(t_2,X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)={n \choose n_1}2^{-n_1}2^{-n_2}=\frac{n!}{n_1! n_2!}2^{-n}.$

где $\frac{n!}{n_1! n_2!}= {n \choose n_1}={n\choose n_2}, \quad n_1+n_2=n$ .

Технические задачи и технические результаты

Для получения биномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике ^[1], ^[1]. Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания биномиального распределения. Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица, $\chi^2$ -квадрат критерий и другие. Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения (таблица 1).

Таблица 1 – Характеристики биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Пространство элементарных событий	$\sum_{i=1}^{k=2}\Omega_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})$
Вероятность	$\prod_{i=1}^{k=2}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}2^{-n}$
Максимальная вероятность (при математическом ожидании распределения)	$\left(\frac{n!}{n_i!n_2!}2^{-n}\right)_{max}= \frac{1}{2}$
Математическое ожидание (как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин)	$\left(\prod_{i=1}^{k=2}E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})\right)_{max}=\frac{1}{2}$
Дисперсия	$\sum_{i=1}^{k=2}D(t_i,X_i=n_i)=\sum_{i=1}^2(n-n_{i-1})\frac{k-1}{k^2}$
Максимальная дисперсия (при математическом ожидании распределения)	$D(X_1,X_2\|X_1)_{max}=\left(\sum_{i-1}^{k=2}(n-n_{i-1})p_iq_i \right)_{max}=\frac{3}{4}$
Ковариационная матрица	$B=\\| b_{ij} \\|$ , где $\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
Корреляционная матрица	$P=\\| \rho_{ij} \\|$ , где $\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
$\chi^2$ - критерий	$\chi^2=\sum_{i=1}^2 [X_i-(n -n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/(n -n_{i-1})p_i^{(0)}=$ $=-n+\sum_{i=1}^2X_i^2 /(n-n_{i-1})p_i^{(0)}$

Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли появляется в так называемой биномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов. Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности $t_1,\quad t_2$ , номера точек которой соответствуют номерам случайных величин.

Каждая из случайных величин распределения $X_i=n_i|X_{i-1}=n_{i-1}$ — это число $n_i$ наступлений одного соответствующего события

$x_i,\quad i=1,\quad 2=k$

в $i$ - ый момент времени при условии, что в $(i-1)$ - ый момент произошло $n_{i-1}$ наступлений предшествующего события $x_{i-1}$ с положительным исходом, все вероятности которых равны $p_1=p_2$ нормированы $p_1+p_2=1$ и неизменны во время проведения экспериментов. Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события $x_i$ равна $p_i$ , то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при $n$ экспериментах события $x_1, \quad x_2$ наступят $n_1,\quad n_2$ раз соответственно. Случайная величина биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли в соответствующей точке дискретной временной последовательности $t_1,\quad t_2$ имеет: пространство элементарных событий

$\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0\le n_i \le n-\ldots-n_{i-1}],$

вероятность

$P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}k^{-1}={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}2^{-1},$

математическое ожидание

$E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=(n-\ldots-n_{i-1})k^{-1}=(n-\ldots-n_{i-1})2^{-1}$

и дисперсию

$D(t_i,X_i \mid t_{i-1},X_{i-1})=( n-\ldots-n_{i-1})\frac{k-1}{k^2}=( n-\ldots-n_{i-1})\frac{1}{4}$

Пространство элементарных событий биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек $t_1,\quad t_2$ цикла, а вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли — произведение вероятностей его случайных величин.

Вероятностная схема биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

содержит циклы повторных зависимых экспериментов. Количество циклов не ограничено. В каждом цикле число экспериментов равно числу случайных величин распределения. Первый эксперимент является независимым, а второй эксперимент в цикле зависим от результата первого эксперимента. Все эксперименты осуществляют методом выбора без возвращения — изъятые элементы не возвращают на свое прежнее место до полного окончания данного цикла.

Случайные события – выборки случайных объемов $n_i,\quad i=1,2=k, \sum_{i=1}^{k=2}n_i=n$ осуществляют из $n$ - множества различимых (различающиеся между собой хотя бы одним признаком, например, порядковым номером) неупорядоченных (хаотично расположенных) элементов и следуют в последовательные моменты времени $t_1,\quad t_2$ .

Число выборок $k=2$ равно числу случайных величин распределения.

Случайные величины $X_1,\quad X_2$ распределения — появления случайного числа элементов $n$ - множества в $n_i$ - подмножествах $n_i, n_2$ , с равными вероятностями $p_i=p_2=k^{-1}=2^{-1}$ каждого элемента.

Попадание одного произвольного элемента $n$ - множества в одно из подмножеств — независимое событие — испытание Бернулли с положительным исходом; вероятности этих испытаний равны $p_1=p_2$ , нормированы $p_1+p_2=1$ и неизменны во время проведения повторных зависимых экспериментов. Один цикл повторных зависимых экспериментов, осуществляемых методом выбора без возвращения — последовательность $k=2$ выборок случайных объёмов $n_1,\quad n_2$ , обработка результатов разделения $n$ - множества на два подмножества $n_1,\quad n_2$ в последовательные моменты времени $t_1, \quad t_2$ и возврат всех $n$ изъятых элементов на прежнее место к началу следующего цикла. Совместное проявление вероятностей попадания $k=2$ выборок случайных объёмов $n_1,\quad n_2$ в одном цикле экспериментов — вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли $p_i=p_2=k^{-1}=2^{-1}$ .

Урновая модель биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Состав: одна исходная урна и две приёмных урн. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения. В начальный момент времени $t_0$ исходная урна содержит $n$ - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты. В первый момент времени $t_1$ из исходной урны осуществляют первую выборку $n_1, 0\le n_1\le n$ случайного объёма и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью $p_1=k^{-1}=2^{-1}$ каждого элемента. Во второй момент времени $t_2$ все элементы $n_2=n-n_1$ , оставшиеся в исходной урне, направляют во вторую приёмную урну с вероятностью $p_2=k^{-1}=2^{-1}$ каждого. В результате исходная урна пуста, а все её элементы размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного $n$ - множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла. Произведение вероятностей попадания $n_1, 0\le n_1\le n, \quad n_2=n-n_1$ элементов исходного $n$ - множества в первую и вторую урны соответственно есть вероятность биномиального распределения с равновероятными исходами испытаний Бернулли.

Два способа получения вероятностей биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Первый способ относится к способам разделения дискретного целого на две части случайных объёмов, в сумме равные исходному целому.

Второй способ является частным случаем способа разделения дискретного целого на несколько частей случайных объёмов, в сумме равных исходному целому.

Первый способ

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): $2\le n < \infty$ .

Составные части — два дискретных подмножества, в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения. Выборки следуют во времени одна за другой. В начальный момент времени $t_0$ , не обязательно равный нулю $t_0 \ne 0$ , множество содержит $n, 2\le n < \infty$ различимых неупорядоченных элементов. В первый момент времени $t_1$ из $n$ -множества осуществляют первую выборку случайного объёма $n_1, 0 \le n_1 \le n$ с вероятностью $p_1=2^{-1}$ каждого её элемента. Вероятность первой случайной величины $P_1(t_1,\quad X_1=n_1)$ биномиального распределения определяется числом сочетаний ${n \choose n_1}$ из $n$ по $n_1$ , умноженным на вероятность $p_1=2^{-1}$ выбора одного элемента, возведённую в степень числа $n_1$ выбранных элементов: $P_1(t_1, X_1=n_1)={n \choose n_1}p_1^{n_1}={n \choose n_1}2^{-n_1}.$ Во второй момент времени $t_2$ все оставшиеся $n-n_1$ элементы исходного множества выбирают с вероятностью $p_2=2^{-1}$ каждого её элемента. $P_2(t_2, X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)={n-n_1 \choose n_2}2^{-n_2}.$ Произведение двух вероятностей есть вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

$\prod_{i=1}^{k=2}P_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},$

$\sum_{i=1}^{k=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.$

Когда число случайных величин равно $k,\quad 0\le k \le n$ имеют место вероятность мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

$\prod_{i=1}^kP_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}k^{-n},$

$\sum_{i=1}^kn_i=n, \quad \sum_{i=1}^kp_i=1.$

Второй способ

Способ получения вероятности биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли может быть получен как частный случай способа получения вероятности мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли при сокращении в последнем числа случайных величин до двух: $k=2$ .

В итоге получаем требуемый результат

$\prod_{i=1}^{k=2}P_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},$

$\sum_{i=1}^{k=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.$

Два способа получения математического ожидания биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Первый способ

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на две составные части случайных объёмов. От способа получения математического ожидания полиномиального распределения тем, что число выборок $k$ равно числу $k=2$ случайных величин биномиального распределения. При этом, как и в полиномиальном распределении каждая выборка имеет единичный объём: $n_i=1, \quad i=1,2=k, \quad k=n$ . Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): $2\le n < \infty$ . Составные части — дискретные подмножества $2\le k \le n < \infty$ , в сумме равные объёму множества. Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения. Выборки следуют во времени одна за другой. В начальный момент времени $t_0$ , не обязательно равный нулю $t_0 \ne 0$ , множество содержит два $n=2$ различимых неупорядоченных элементов. В первый момент времени $t_1$ из $n$ -множества осуществляют первую выборку $n_1=1$ единичного объёма с вероятностью $p_1=n^{-1}$ . Вероятность первой случайной величины $P_1(t_1, X_1=n_1=1)$ биномиального распределения определяется числом сочетаний ${n \choose n_1}$ из $n$ по $n_1=1$ , умноженным на вероятность $p_1=n^{-1}$ выбора одного элемента: $P_1(t_1, X_1=n_1=1)={n \choose n_1}p_1={n \choose 1}n^{-1}=\frac{n}{n}.$ Во второй момент времени $t_2$ из оставшихся $n-n_1$ элементов исходного множества осуществляют вторую выборку $n_2=1$ единичного объёма с вероятностью $p_2=n^{-1}$ . Вероятность второй случайной величины $P_2(t_2, X_2=n_2=1)$ при условии, что в первый момент времени вероятность первая случайная величина полиномиального распределения приняла значение $P_1(t_1, X_1=n_1=1)$ , определяется числом сочетаний ${n-n_1 \choose n_2}$ из $n-n_1$ по $n_2=1$ , умноженным на вероятность $p_2=n^{-1}$ выбора одного элемента:

$P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)={n-n_1 \choose n_2}p_2={n-n_1 \choose 1}n^{-1}=\frac{n-1}{n}.$

Произведение вероятностей есть математическое ожидание биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

$P_1(t_1, X_1=n_1=1)P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)=\frac{n-1}{n}\frac{n}{n}=\frac{n-1}{n}=\frac{1}{2},$

$\sum_{i=1}^{n=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.$

Второй способ

Математическое ожидание биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли получают как частный случай математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли при одновременном сокращении числа случайных величин до двух и числа испытаний до двух $k=2,\quad n=2 :$

$\prod_{i=1}^{n=2}P_i(t_i,X_i=n_i=1 \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\prod_{i=1}^{n=2}\frac{n-n_{i-1}}{n}=\frac {n!}{n^n}=\frac {1}{2},$

$\sum_{i=1}^{n=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.$

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли это:

случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени $t_1,\quad t_2$ и в пространстве конечного $n$ - множества различимых неупорядоченных элементов на две части $n_1, \quad n_2$ случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества: $n_1+ n_2=n, \quad 2\le n<\infty$ ,
разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за соответствующую вероятность успеха (успешного завершения испытания) распределения Бернулли $0\le p_i<1, \quad i=1,2$ ,
вероятности успехов Бернулли распределений нормируют $\sum _{i=1}^{k=2} p_i =1$ согласно аксиоматике Колмогорова и принимают неизменными до окончания испытаний,
очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин $X_1, \quad X_2$ биномиального распределения,

случайный объём каждой выборки $n_i, \quad i=1,2$ в момент времени $t_i, \quad i=1,2$ принимают за числовое значение соответствующей случайной величины $X_i=n_i, \quad i=1,2$ биномиального распределения,
если в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла значение

$n_1, \quad 0\le n_1\le n,$

то во второй момент времени $t_2$ вторая случайная величина $X _2$ принимает значение

$n _2, \quad 0\le n_2=n- n_1,$

результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,
минимально необходимый набор технических характеристик случайных величин и биномиального распределения в целом это: пространство элементарных событий, вероятность , математическое ожидание и дисперсия,
математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок $k$ равно числу элементов $n$ -множества $k=n$ и численно равно $\frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2}$ .

Биномиальное распределение как цепь Маркова

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. ( $X_0$ , называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла $t_0=0, \quad X_0=0$ , поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.) Единственная переходная вероятность

$P(t_2>t_1,\quad X_2=n_2=n-n_1 \quad |\quad t_1<t_2,\quad X_1=n_1)$

заключается в том, что вторая случайная величина $X_2$ во второй момент времени $t_2$ вынуждена принять числовое значение, равное $0\le n_2=n-n_1$ , при условии, что в первый момент времени $t_1$ первая случайная величина $X_1$ приняла случайное значение, равное $n_1, \quad 0\le n_1\le n$ . Следовательно и вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

$\prod_{i=1}^{k=2}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}$

как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин является простейшей цепью Маркова. Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице $p_1+p_2=1$ . Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Наиболее интересные этапы становлнения биномиального и мультиномиального распределений

Начальный этап становления биномиального распределения

Зарождение биномиальное распределение зарождалось как комбинаторная задача на основе разложения бинома $(a + b)^n$

Географически принцип полной индукции восходит к древним грекам, например, к “Началам” Евклида, а в странах ислама формула бинома $(a + b)^n$ при $n=3,4,\ldots,9$ была известна уже в 10-12 веках таким учёным, как: Ат-Туси, Ал-Каши и Омар Хайям.

Первый из них (Абу Джафар Мухаммад ибн Мухаммад Насир ад-Дин ат-Туси) Ат-Туси (1201- 26 июня 1274) уроженец города Туса в Хорасане, работал сначала в столице государства ассасинов. Ат-Туси принадлежит много трудов по математике и астрономии, а также по физике, минералогии, логике, этике и другим наукам . ^[1]

В «Сборнике по арифметике с помощью доски и пыли» (1265) Ат-Туси подробно описал приём извлечения корней любой степени и привел таблицу биномиальных коэффициентов в форме треугольника, известного ныне как треугольник Паскаля.^[1]

Последний из них владел правилом возведения двучлена в любую целую положительную степень. Однако эти сочинения Хайяма пока не найдены. Но на их существование говорит его цитата: “Мы покажем, как определить основания квадрато–квадратов, квадрато–кубов, кубов–кубов и так далее сколько угодно, чего раньше не было”. По-видимому, эти общие результаты в словесном изложении не дошли в своё время до Европы, и здесь пришлось их получать заново.

Первая половина 19-го века - дальнейшее теоретическое и практическое применение бинома Ньютона в теории вероятностей

Процитируем ^[1] и проанализируем урновую модель Лапласа: <<Предположим, что урна содержит $a$ белых и $b$ черных шаров, и что по изъятии из неё шара, его кладут обратно в урну: спрашивается, какова вероятность того, что при $n$ тиражах будут вынуты $m$ белых шаров и $n-m$ черных. Ясно, что число случаев возможных при каждом тираже равно $a$ плюс $b$ . Так как каждый случай второго тиража может комбинироваться со всеми случаями первого, то число случаев возможных при двух тиражах, равно квадрату бинома $a$ плюс $b$ . В разложении этого квадрата квадрат $a$ выражает число случаев, в которых два раза вынут белый шар, удвоенное произведение $a$ на $b$ выражает число случаев, в которых вынуты белый и черный шары; наконец, квадрат $b$ выражает число случаев, в которых вынуты два черных шара. Продолжая таким образом дальше, находят вообще, что $n$ -я степень бинома $a$ плюс $b$ выражает число всех случаев возможных при $n$ тиражах, и что в разложении этой степени член, умноженный на $m$ -ю степень $a$ выражает число случаев, в которых можно вынуть $m$ белых шаров и $n-m$ черных. Поэтому, деля этот член на всю степень бинома, получим вероятность изъятия $m$ белых шаров и $n-m$ черных. Так как отношения $a$ и $a$ плюс $b$ есть вероятность изъятия белого шара, а отношение $b$ и $a$ плюс $b$ есть вероятность изъятия черного шара, если при этом назовем эти вероятности $p$ и $q$ , то вероятностью изъятия $m$ белых шаров при $n$ тиражах будет член, умноженный на -ю степень , в разложении $n$ -й степени бинома $p$ плюс $q$ : легко заметить, что сумма $p$ плюс $q$ есть единица. Это замечательное свойство бинома оказывается очень полезным в теории вероятностей>>.

Примечания. 1. В современной теории вероятностей тиражом называют одно независимое повторное испытание с двумя несовместными исходами каждый (испытание Бернулли), что в модели Лапласа, например, означает: “успешный исход” случайного события $A=1$ — вынут белый шар, “неудачный исход” случайного события $A=0$ — вынут черный шар.

2. Процедура изъятия из урны одного произвольного шара и каждый раз возвращение его в урну до следующего изъятия со времён Лапласа закрепилась в теории вероятностей как метод выбора с возвращением получения бинома и вероятностей биномиального распределения (ещё так не называемого).

3. Возникли существенные различия биномиальных распределений, полученных на основе двух рассмотренных биномов $a$ плюс $b$ в степени $n$ и $p$ плюс $q$ в степени $n$ , связанных одним тождеством

$\frac{(a+b)^n}{(a+b)^n}=1^n=(p+q)^n, \qquad p=\frac{a}{a+b}, \qquad q= \frac{b}{a+b}.$

Из дроби $\frac{(a+b)^n}{(a+b)^n}$ Лаплас определил вероятность биномиального распределения как вероятность изъятия $m$ белых шаров и $n-m$ черных:

$P(a=m,b=n-m)= \frac {{n\choose m}a^mb^{n-m}}{(a+b)^n},$

а из бинома $(p+q)^n$ — вероятность биномиального распределения как вероятность изъятия $m$ только белых шаров

$P(a=m)= {n\choose m}p^mq^{n-m}.$

В России в 1846 году В. Я. Буняковский на основе комбинаций исходов независимых испытаний получил вероятность биномиального распределения, как распределения двух случайных величин ^[1] . Однако это осталось незамеченным возможно потому, что Буняковский опубликовал свою работу только на русском языке и в очень ограниченном количестве экземпляров. А при жизни Лапласа его трактат был опубликован пять раз: в феврале и ноябре 1814, 1816, 1819 и 1825 годах. Кроме того, в последствии трактат и его переводы неоднократно переиздавались во многих странах вплоть до конца XX века. В США последний раз был переиздан в 1994 году, а в России — в 1999 году в составе энциклопедии.

Опыт философии в теории вероятностей ^[1] — образец гениальности Лапласа. Он изложил полную теорию на то время, привел полный свод истин из теории вероятностей и приложений анализа вероятностей без применения формул и сложных вычислений.

В первой половине 19-го века В. Я. Буняковский назвал труд Лапласа бессмертным творением утверждая, что никому аналитическая Теория Вероятностей не обязана столько, как Лапласу.

Только в начале 20-го века появились первые критические высказывания в адрес трактата Лапласа, вспоминал Г. Крамер полвека спустя ^[1]

Видимо сказался авторитет Лапласа, и, как следствие, многие столетия развитие биномиального распределения шло в направлении распределения одной случайной величины.

В СССР, даже в середине 20-го века эта точка зрения не ставилась под сомнение. В качестве примера процитируем вышедший в 1956 году в Издательстве АН СССР 3-томный коллективный труд “Математика, ее содержание, методы и значения”. В нём говорится, что глава XI — Теория вероятностей — из 2-го тома этого труда, написанная академиком А. Н. Колмогоровым , до наших дней сохраняет интерес для представителей естественнонаучных и инженерных специальностей, учителей математики ^[1]

Цитируем из неё с несущественными изменениями обозначений: <<Вычислим теперь вероятность $P_k$ ровно $k$ появлений некоторого события $A$ в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность $p$ этого события одна и та же.

Обозначим через $\vee$ событие, заключающееся в непоявлении события $A$ .

Очевидно, что

$P(\vee)=1-P(A)=1-p.$

Из независимости испытаний нетрудно усмотреть, что вероятность какой-либо определенной последовательности, составленной из $k$ появлений $A$ и $n-k$ непоявлений , равна

$p^k(1-p)^{n-k}.$

Так, например, при $n=5$ и $k=2$ вероятность получить последовательность исходов будет

$p(1-p)p(1-p)(1-p) =p^2(1-p)^3.$

По теореме сложения вероятность $P_k$ равна сумме вероятностей всех последовательностей с $k$ появлений и с $n- k$ непоявлений события $A$ , т. е. в силу

$p^k(1-p)^{n-k}$

равна произведению числа таких последовательностей на $p^k(1-p)^{n-k}$ . Число таких последовательностей, очевидно, равно числу сочетаний из $n$ по $k$ , поскольку $k$ положительных исходов могут занимать в ряду $n$ испытаний любые $k$ мест.

Окончательно получаем

$P_k= C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \qquad (k=0,\ldots,n).$

(так наз. биномиальное распределение) >> Конец цитаты.

Проанализируем получение Колмогоровым биномиального распределения.

Во-первых, была поставлена задача вычислить вероятность ровно $k$ появлений одного и того же случайного события в последовательности, содержащей $n$ независимых испытаний.

Во-вторых, в процессе решения поставленной задачи дополнительно была вычислена вероятность ровно $n-k$ появлений и второго случайного события в той же последовательности, а именно, вероятность непоявления первого случайного события. Иными словами, была вычислена совместная вероятность появления двух случайных событий на едином пространстве элементарных событий, представляющем собой последовательность $n$ независимых испытаний.

И, наконец, в-третьих, произведение вероятности ровно $k$ появлений одного и вероятности ровно $n-k$ непоявлений другого случайного события было принято за вероятность ровно $k$ появлений первого случайного события в последовательности независимых испытаний:

$P_k= C_n^kp^k(1-p) ^{n-k} \qquad (k=0,\ldots,n).$

По Колмогорову так называемое биномиальное распределение есть распределение одной случайной величины, появляющейся ровно $k$ раз, причём эта точка зрения существует и в настоящее время.

Распределение Пуассона

$P_k=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},$

в котором $\lambda=np$ , на самом деле определяет вероятность ровно $k$ появлений того же случайного события в последовательности $n$ независимых испытаний ^[1], причем параметр $\lambda=np$ есть математическое ожидание первой случайной величины биномиального распределения (и полиномиального распределения тоже)настоящей интерпретации.

В. Я. Буняковский в 1846 году первым в мире получил формулу вероятности биномиального распределения как распределения двух случайных величин. В ту пору не были известными многие современные математические знаки такие, как суммирование, произведение, факториал и другие. В современной записи Биномиальное распределение Буняковского выглядит следующим образом:

$P(X_1=n_1, X_2=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},$

$2=k \le n< \infty, \quad n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1.$

В том же 1846 году В. Я. Буняковский методом индукции распространил математическую формулу разложения бинома “на случай сколь угодно большого числа событий”, тем самым получил новое тождество

$\frac{(a+b+c+\ldots)^n}{(a+b+c+\ldots)^n }=1^n=(p_1+p_2+p_3+\ldots)^n,$

в котором

$\frac{a}{a+b+c+\ldots}, \quad \frac{b}{a+b+c+\ldots}, \quad \frac{c}{a+b+c+\ldots},$

из которого В. Я. Буняковский первым в мире получил и формулу вероятности полиномиального распределения традиционной интерпретации (независимых случайных величин).

В современной записи Мультиномиальное распределение независимых случайных величин (Мультиномиальное распределение Буняковского) выглядит следующим образом:

$P(X_1=n_1,\ldots,X_k=n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k},$

$2\le k \le n< \infty, \quad n_1+\ldots+n_k=n, \quad p_1+ \ldots +p_ k =1.$

Литература

См.также

Биномиальное распределение одной случайной величины
Биномиальное распределение двух случайных величин
Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Парадоксы биномиального распределения
Мультиномиальное распределение
Мультиномиальное распределение независимых случайных величин
Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин
Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Парадоксы мультиномиального распределения

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D1%83%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8»

Категория: Вероятностные распределения

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Определение

Пояснение

Технические задачи и технические результаты

Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Вероятностная схема биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Урновая модель биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Два способа получения вероятностей биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Первый способ

Второй способ

Два способа получения математического ожидания биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли

Первый способ

Второй способ

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектами

Биномиальное распределение как цепь Маркова

Наиболее интересные этапы становлнения биномиального и мультиномиального распределений

Начальный этап становления биномиального распределения

Зарождение биномиальное распределение зарождалось как комбинаторная задача на основе разложения бинома $(a + b)^n$

Первая половина 19-го века - дальнейшее теоретическое и практическое применение бинома Ньютона в теории вероятностей

Литература

См.также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

Версия 23:49, 3 ноября 2013 (править) Vokov (Обсуждение \| вклад) (предупреждение) ← К предыдущему изменению		Текущая версия (09:22, 3 сентября 2015) (править) (отменить) Vitsemgol (Обсуждение \| вклад) (→См.также)
(14 промежуточных версий не показаны.)