Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)
Материал из MachineLearning.
(→Построение квадратурных формул) |
|||
Строка 82: | Строка 82: | ||
так как она точна для <tex>f(s)=(s-\frac{1}{2})^3</tex>: | так как она точна для <tex>f(s)=(s-\frac{1}{2})^3</tex>: | ||
- | <center><tex> | + | <center><tex>J_2[(s-\frac{1}{2})^3]=\frac{1}{6}((-\frac{1}{2})^3+4\cdot 0+(\frac{1}{2})^3)=0,</tex></center> |
<center><tex>L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.</tex></center> | <center><tex>L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.</tex></center> | ||
Строка 101: | Строка 101: | ||
Формулы такого типа называют квадратурными '''формулами Котеса'''. | Формулы такого типа называют квадратурными '''формулами Котеса'''. | ||
+ | |||
+ | === Примеры квадратурных формул === | ||
+ | |||
+ | :Приведем примеры квадратурных формул Котеса на равнемерной сетке с шагом <tex>h:</tex> <tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}</tex>, где обозначим <tex>f_i=f(a+ih)</tex>: | ||
+ | *для 3 точек(метод Симпсона), <tex>m=2:</tex> | ||
+ | |||
+ | <center><tex>J_2[f]=\frac{1}{3}h(f_0+4f_1+f_2),</tex></center> | ||
+ | <center><tex>c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | *для 4 точек, <tex>m=3:</tex> | ||
+ | |||
+ | <center><tex>J_3[f]=\frac{3}{8}h(f_0+3f_1+3f_2+f_3),</tex></center> | ||
+ | <center><tex>c_0=c_3=\frac{1}{8},c_1=c_2=\frac{3}{8}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | *для 5 точек, <tex>m=4:</tex> | ||
+ | |||
+ | <center><tex>J_4[f]=\frac{2}{45}h(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4),</tex></center> | ||
+ | <center><tex>c_0=c_4=\frac{7}{90},c_1=c_3=\frac{32}{90},c_2=\frac{12}{90}.</tex></center> | ||
+ | |||
+ | *для 6 точек, <tex>m=5:</tex> | ||
+ | <center><tex>J_5[f]=\frac{5}{288}h(19f_0+75f_1+50f_2+50f_3+75f_4+19f_5),</tex></center> | ||
+ | |||
+ | *для 7 точек, <tex>m=6:</tex> | ||
+ | <center><tex>J_6[f]=\frac{1}{140}h(41f_0+216f_1+27f_2+272f_3+27f_4+216f_5+41f_6),</tex></center> | ||
+ | |||
+ | *для 8 точек, <tex>m=7:</tex> | ||
+ | <center><tex>J_7[f]=\frac{7}{17280}h(751f_0+3577f_1+1323f_2+2989f_3+2989f_4+1323f_5+3577f_6+751f_7),</tex></center> | ||
+ | |||
+ | *для 9 точек, <tex>m=8:</tex> | ||
+ | <center><tex>J_8[f]=\frac{4}{14175}h(989f_0+5888f_1-928f_2+10496f_3-4540f_4+10496f_5-928f_6+5888f_7+989f_8),</tex></center> | ||
+ | |||
+ | *для 10 точек, <tex>m=9:</tex> | ||
+ | <center><tex>J_9[f]=\frac{9}{89600}h(2857f_0+15741f_1+1080f_2+19344f_3+5778f_4+5778f_5+19344f_6+1080f_7+15741f_8+2857f_9),</tex></center> | ||
+ | |||
+ | *для 11 точек, <tex>m=10:</tex> | ||
+ | <center><tex>J_{10}[f]=\frac{5}{299376}h(16067f_0+106300f_1-48525f_2+272400f_3-260550f_4+427368f_5-260550f_6+272400f_7-48525f_8+106300f_9+16067f_{10}).</tex></center> | ||
== Изложение метода == | == Изложение метода == | ||
Строка 115: | Строка 151: | ||
* ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.'' Численные методы М.: Наука, 1989. | * ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.'' Численные методы М.: Наука, 1989. | ||
* ''А.А.Самарский.'' Введение в численные методы М.: Наука, 1982. | * ''А.А.Самарский.'' Введение в численные методы М.: Наука, 1982. | ||
+ | * http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html |
Версия 17:20, 26 сентября 2008
автор: Гордеев Дмитрий
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
- Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
|
где - заданная и интегрируемая на отрезке функция. На отрезке вводится сетка и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
|
где - значения функции в узлах , где - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора . Формула называется квадратурной формулой.
- Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов и таких весов , чтобы погрешность квадратурной формулы
|
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина зависит от гладкости ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на равномерную сетку с шагом , т.е. множество точек , и представим интеграл в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
|
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
|
на частичном отрезке и воспользоваться свойством .
Построение квадратурных формул
- В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы
Данную формулу при помощи замены можно привести к стандартному виду
|
В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.
Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы . Будем пользоваться требованием: формула должна быть точной для любого полинома степени . Для того чтобы полином степени удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена степени . Учитывая, что , получаем уравнение
Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, .
Так, полагая , имеем систему , решением которой являются веса формулы Симпсона: . Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени:
так как она точна для :
Формулы треугольника и трапеции точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа
где - интерполяционный коэффициент Лагранжа. Из равенства
видно, что формула верна для полинома степени , если весовые коэффициенты определяются по формуле
|
Формулы такого типа называют квадратурными формулами Котеса.
Примеры квадратурных формул
- Приведем примеры квадратурных формул Котеса на равнемерной сетке с шагом , где обозначим :
- для 3 точек(метод Симпсона),
- для 4 точек,
- для 5 точек,
- для 6 точек,
- для 7 точек,
- для 8 точек,
- для 9 точек,
- для 10 точек,
- для 11 точек,
Изложение метода
Анализ метода
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
- http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html