Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)
Материал из MachineLearning.
(Новая: == Введение == === Постановка математической задачи === == Изложение метода == == Анализ метода == == Числово...) |
(→Постановка математической задачи) |
||
Строка 2: | Строка 2: | ||
=== Постановка математической задачи === | === Постановка математической задачи === | ||
+ | Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла | ||
+ | |||
+ | <tex>J[f]=\int_a^b{f(x)dx}</tex> | ||
+ | |||
+ | где <tex>f(x)</tex> - заданная на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число | ||
+ | |||
+ | <tex>J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)}</tex> | ||
+ | |||
+ | где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. Данная формула называется квадратурной формулой. | ||
+ | |||
+ | Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов <tex>\{x_i\}</tex> и таких весов <tex>\{c_i\}</tex>, чтобы погрешность квадратурной формулы | ||
+ | |||
+ | <tex>D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]</tex> | ||
+ | |||
+ | была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>D[f]</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). При построении квадратурной формулы обычно представляют интеграл в виде суммы интегралов вида | ||
+ | |||
+ | <tex>\int_\alpha^\beta{f(x)dx}</tex> | ||
+ | |||
+ | каждый из которых сводится к стандартному интегралу по отрезку единичной длины | ||
+ | |||
+ | <tex>L[f]=\int_0^1{f(s)ds}</tex> | ||
+ | |||
+ | с помощью замены | ||
+ | |||
+ | <tex>x=\alpha+(\beta-\alpha)s</tex>, | ||
+ | |||
+ | <tex>f(x)=f(\alpha+(\beta-\alpha)s)</tex> | ||
== Изложение метода == | == Изложение метода == |
Версия 13:45, 25 сентября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
где - заданная на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
где - значения функции в узлах , где - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора . Данная формула называется квадратурной формулой.
Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов и таких весов , чтобы погрешность квадратурной формулы
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина зависит от гладкости ). При построении квадратурной формулы обычно представляют интеграл в виде суммы интегралов вида
каждый из которых сводится к стандартному интегралу по отрезку единичной длины
с помощью замены
,