Медианный критерий

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Медианный критерий — непараметрический статистический критерий, относится к классу ранговых критериев сдвига. То есть проверяет гипотезу о том, что распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу.

Содержание

[убрать]

1 Описание критерия
2 Замечания
3 Сравнение с аналогичными критериями
4 Ссылки
5 Литература

Описание критерия

Пусть $X = (X_1,\ldots,X_m)$ и $Y = (Y_1,\ldots,Y_n)$ - случайные выборки с плотностями $f_1$ и $f_2$ соответственно.

Нулевая гипотеза $H_0:\; f_1(x) = f_2(x)$ . Альтернатива $H_1:\; f_1(x) = f_2(x-\Delta), \Delta \neq 0$ . То есть плотности идентичны за исключением сдвига.

Статистика критерия:

Строится общий вариационный ряд объединённой выборки $Z_{(1)} \leq \cdots \leq Z_{(m+n)}$ . $R _i$ - ранги элементов первой выборки в общем вариационном ряду.
Форма 1

Находится медиана упорядоченной объединенной выборки $Z$ и подсчитывается число наблюдений выборки $X$ , превосходящих медиану (если $(m+n)$ нечетно и медиана принадлежит выборке $X$ , то это число увеличивается на $\frac{1}{2}$ ). Тогда статистика критерия может быть записана так:

$S = \sum_{i=1}^{m}\frac{1}{2}[sign(R_i - \frac{m+n+1}{2} )+ 1]$

При $n,m > 10$ распределение статистики $S$ удовлетворительно описывается нормальным со средним $\mathbf{M}(S) = \frac{m}{2}$ и дисперсией

$\mathbf{D}(S) = \frac{mn}{4(m+n-1)}$ , если $m+n = 2k$ и

$\mathbf{D}(S) = \frac{mn}{4(m+n)}$ , если $m+n = 2k-1$

Если

$|S^*| = \frac{|S-\mathbf{M}(S)|}{ \sqrt{\mathbf{D}(S)}} < U_{1-\frac{\alpha}{2}}$ ,

то с достоверностью $\alpha$ гипотеза сдвига отклоняется.

‘’Форма 2’’

Пусть $A$ и $C$ – количество элементов выборки $X$ , соответственно больших и меньших медианы объединенной выборки, а $B$ и $D$ - аналогичные числа для выборки $Y$ . Тогда статистикой критерия сдвига является величина

$\chi^2 = \frac{(n+m)(|AD-BC|-\frac{n+m}{2})^2}{(A+B)(C+D)+(A+C)(B+D)}$ ,

Имеющая, при отсутствии сдвига, распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы

Замечания

Медианный критерий асимптотически оптимален, когда плотность $f$ принадлежит симметрично-экспоненциальному типу.
’Форма 2’ критерия применима только при $n+m<40$ и $A, B, C, D < 5$
Эффективность медианного критерия по сравнению с критерием Стьюдента в случае нормального распределения равна $\frac{2}{\pi} \approx 0,64$

Сравнение с аналогичными критериями

Тест имеет низкую эффективность для диапазона выборок от умеренного до большого размера, и, в значительной степени, расценивается как устаревший. Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни для двух выборок лучше работает в этом случае. Siegel & Castellan (1988, p. 124), считают, что медианному критерию нет никакой альтернативы, когда одно или более наблюдений находятся "за пределами шкалы". Существенное различие между двумя критериями состоит в том, что медианный критерий учитывает только положение каждого наблюдения относительно совокупной медианы, тогда как критерий Уилкоксона-Манна-Уитни принимает во внимание ранг каждого наблюдения. Таким образом из двух рассмотренных тестов, последний обычно более показателен.

Ссылки

Median test — материал из Википедии
Дисперсионный анализ Краскела-Уоллиса и медианный тест — учебник по статистике, StatSoft

Литература

Siegel, S., & Castellan, N. J. Jr. (1988, 2nd ed.). Nonparametric statistics for the behavioral sciences. New York: McGraw-Hill.
Friedlin, B. & Gastwirth, J. L. (2000). Should the median test be retired from general use? The American Statistician, 54, 161-164.
Я.Гаек, З. Шидак Теория ранговых решений. "Наука" Москва 1971г.
Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.:ФизМатЛит 2006г.

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Евгения Одинокова

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 29 января 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9»

Категории: Статистические тесты | Непроверенные учебные задания

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-В [[статистика|статистике]] медианный критерий - частный случай [[Критерий Хи-квадрат|критерия Хи-квадрат]]. Это - непараметрический критерий, который предназначен для проверки [[нулевая гипотеза|нулевой гипотезы]] о том, что медианы совокупностей, из которых сделаны две [[выборка|выборки]] - одинаковы.
+'''Медианный критерий''' — [[непараметрический статистический критерий]], относится к классу [[ранговый критерий| ранговых критериев]] сдвига. То есть проверяет гипотезу о том, что распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу.
-Данные в каждой выборке разбиваются на две группы: одна состоит из элементов, значения которых выше чем медианное значение объединенной выборки, а другая состоит из данных, значения которых в медиане или ниже. При этом  используется критерий Хи-квадрат [[Пирсон|Пирсона]] , чтобы определить, отличаются ли наблюдаемые частоты в каждой группе от ожидаемых частот, полученных из распределения, комбинирующего обе эти выборки.
+== Описание критерия ==
+Пусть <tex>X = (X_1,\ldots,X_m)</tex> и <tex>Y = (Y_1,\ldots,Y_n)</tex> - случайные выборки с плотностями <tex>f_1</tex> и <tex>f_2</tex> соответственно.
-Тест имеет низкую эффективность для диапазона выборок от умеренного до большого размера, и, в значительной степени, расценивается как устаревший. [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]] для двух выборок лучше работает в этом случае. Siegel & Castellan (1988, p. 124), считают, что медианному критерию нет никакой альтернативы, когда одно или более наблюдений находятся "за пределами шкалы". Существенное различие между двумя критериями состоит в том, что медианный критерий  учитывает только положение каждого наблюдения относительно совокупной медианы, тогда как критерий Уилкоксона-Манна-Уитни принимает во внимание ранг каждого наблюдения. Таким образом из двух рассмотренных тестов, последний обычно более показателен.
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; f_1(x) = f_2(x)</tex>.
+'''Альтернатива''' <tex>H_1:\; f_1(x) = f_2(x-\Delta), \Delta \neq 0</tex>. То есть плотности идентичны за исключением сдвига.
+'''Статистика критерия:'''
+* Строится общий [[вариационный ряд]] объединённой выборки <tex>Z_{(1)} \leq \cdots \leq Z_{(m+n)}</tex>. <tex>R _i</tex>  - ранги элементов первой выборки в общем вариационном ряду.
+* ''Форма 1''
+Находится медиана упорядоченной объединенной выборки <tex>Z</tex> и подсчитывается число наблюдений выборки <tex>X</tex>, превосходящих медиану (если <tex>(m+n)</tex> нечетно и медиана принадлежит выборке <tex>X</tex>, то это число увеличивается на <tex>\frac{1}{2}</tex>). Тогда статистика критерия может быть записана так:
+::<tex>S = \sum_{i=1}^{m}\frac{1}{2}[sign(R_i - \frac{m+n+1}{2} )+ 1]</tex>
+При <tex>n,m > 10</tex> распределение статистики <tex>S</tex> удовлетворительно описывается [[нормальное распределение|нормальным]] со средним <tex>\mathbf{M}(S) = \frac{m}{2}</tex> и дисперсией
+::<tex>\mathbf{D}(S) = \frac{mn}{4(m+n-1)}</tex>, если <tex>m+n = 2k</tex> и
+::<tex>\mathbf{D}(S) = \frac{mn}{4(m+n)}</tex>, если <tex>m+n = 2k-1</tex>
+Если
+::<tex>|S^*| = \frac{|S-\mathbf{M}(S)|}{ \sqrt{\mathbf{D}(S)}} < U_{1-\frac{\alpha}{2}}</tex>,
+то с достоверностью <tex>\alpha</tex> гипотеза сдвига отклоняется.
+* ‘’Форма 2’’
+Пусть <tex>A</tex> и <tex>C</tex> – количество элементов выборки <tex>X</tex>, соответственно больших и меньших медианы объединенной выборки, а <tex>B</tex> и <tex>D</tex> - аналогичные числа для выборки <tex>Y</tex>.
+Тогда статистикой критерия сдвига является величина
+::<tex>\chi^2 = \frac{(n+m)(|AD-BC|-\frac{n+m}{2})^2}{(A+B)(C+D)+(A+C)(B+D)}</tex>,
+Имеющая, при отсутствии сдвига, распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы
+== Замечания ==
+# Медианный критерий асимптотически оптимален, когда плотность <tex>f</tex> принадлежит симметрично-экспоненциальному типу.
+#’Форма 2’ критерия применима только при <tex>n+m<40</tex> и <tex>A, B, C, D < 5</tex>
+# Эффективность медианного критерия по сравнению с [[Критерий Стьюдента|критерием Стьюдента]] в случае нормального распределения равна <tex>\frac{2}{\pi} \approx 0,64</tex>
+==Сравнение с аналогичными критериями==
+#Тест имеет низкую эффективность для диапазона выборок от умеренного до большого размера, и, в значительной степени, расценивается как устаревший. [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]] для двух выборок лучше работает в этом случае. Siegel & Castellan (1988, p. 124), считают, что медианному критерию нет никакой альтернативы, когда одно или более наблюдений находятся "за пределами шкалы". Существенное различие между двумя критериями состоит в том, что медианный критерий  учитывает только положение каждого наблюдения относительно совокупной медианы, тогда как критерий Уилкоксона-Манна-Уитни принимает во внимание ранг каждого наблюдения. Таким образом из двух рассмотренных тестов, последний обычно более показателен.
 ==Ссылки==
+* [http://en.wikipedia.org/wiki/Median_test Median test] — материал из Википедии
+* [http://www.statsoft.ru/home/portal/applications/Multivariatadvisor/Nonparametrics/Kraskel-Uoliss.htm Дисперсионный анализ Краскела-Уоллиса и медианный тест] — учебник по статистике, StatSoft
+==Литература==
+* Siegel, S., & Castellan, N. J. Jr. (1988, 2nd ed.).  Nonparametric statistics for the behavioral sciences.  New York: McGraw-Hill.
+* Friedlin, B. & Gastwirth, J. L. (2000).  Should the median test be retired from general use?  ''The American Statistician, 54'', 161-164.
+* Я.Гаек, З. Шидак Теория ранговых решений. "Наука" Москва 1971г.
+* Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.:ФизМатЛит 2006г.
+[[Категория:Статистические тесты]]
+{{Задание|Евгения Одинокова|Vokov|29 января 2009}}

Медианный критерий

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Описание критерия

Замечания

Сравнение с аналогичными критериями

Ссылки

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты