Прикладная алгебра (курс лекций, С.И. Гуров)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
 
(88 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
__NOTOC__
__NOTOC__
-
 
+
Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля) и её приложениям в кодировании и шифровании.
-
Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля, частично-упорядоченные множества) и её приложениям в кодировании и комбинаторике.
+
Лектор: [[Участник:Sgur|Гуров Сергей Исаевич]]
Лектор: [[Участник:Sgur|Гуров Сергей Исаевич]]
-
Ассистент: [[Участник:Kropotov|Кропотов Д.А.]]
+
Ассистенты: [[Участник:Kropotov|Кропотов Дмитрий]], Варламова Арина, Добролюбова Ольга
-
Свои вопросы по курсу и пожелания можно направлять письмом по адресу ''bayesml@gmail.com'', в название письма просьба добавлять [ПА14]
+
Свои вопросы по курсу можно задавать в [https://t.me/joinchat/FIB6dhRLLmm2tsiEIl_ayw телеграм-чате].
-
В осеннем семестре 2014/2015 уч. г. занятия проходят на ВМК по понедельникам в ауд. П8, начало в 14-35.
+
В осеннем семестре 2020/2021 уч. г. занятия проходят в дистанционном режиме по понедельникам, начало в 12-50.
-
== Новости ==
+
Видеозаписи отдельных занятий: [https://www.youtube.com/playlist?list=PLVF5PzSHILHQ4YmzPn2eYBUrZina5OrS_ ссылка]
-
* '''27.01.14''' Первая пересдача по курсу состоится 10 февраля, начало в 14-35. Вторая пересдача по курсу состоится 16 февраля, начало в 10-35. Для студентов, имеющих задолженность по контрольной: семинар с обсуждением решений задач контрольной состоится 9 февраля в ауд. 507, начало в 14-35.
+
<!--
-
* '''18.01.14''' Проверены контрольные работы, писавшиеся на экзамене 17 и 18 января. Дальнейшая схема для студентов, имеющих задолженность по контрольной: в начале учебного семестра будет проведён семинар с обсуждением решений задач контрольной, затем на пересдаче студент пишет контрольную работу и, в случае успеха, в тот же день сдаёт экзамен.
+
== Практическое задание ==
-
* '''08.01.14''' Консультация к экзамену состоится 16 января в ауд. П-5, начало в 15-00.
+
-
* '''27.12.14''' Добавлены результаты переписывания контрольной 22.12. Показ незачётных работ пройдет в понедельник, 29 декабря, в ауд. 645, начало в 17-00.
+
-
* '''22.12.14''' Выложены список вопросов к экзамену, теоретический минимум и список задач по теории Пойя.
+
-
* '''20.12.14''' В понедельник 22 декабря состоится последнее до экзамена переписывание контрольной работы, ауд. П-8а, начало в 14-35.
+
-
* '''08.12.14''' Показ работ по результатам переписывания контрольной 02.12. пройдет в пятницу, 12 декабря, в ауд. 637, начало в 14-35.
+
-
* '''08.12.14''' Выложены результаты переписывания контрольной работы 02.12.
+
-
* '''26.11.14''' Переписывание контрольной работы состоится во вторник, 2 декабря, в ауд. П-1, начало в 18-05.
+
-
* '''22.11.14''' Выложены результаты контрольной работы 10.11.
+
-
* '''18.11.14''' Консультация по решению задач контрольной, а также показ незачётных работ пройдёт во вторник, 25 ноября, в ауд. П-1, начало в 18-05.
+
-
== Контрольная работа ==
+
Студенты, успешно справившиеся с контрольной работой, могут выполнить практическое задание в качестве альтернативы сдачи экзамена по курсу. Задание выполняется на языке python 3. Срок сдачи: 31 декабря, 23:59. За выполнение этого задания можно получить оценку 5, 4 или 0. В случае получения оценки 4 за задание можно сдавать устный экзамен по курсу по обычной схеме. В случае выявления плагиата в коде задания для всех участвующих студентов оценка за задание будет аннулирована, а оценка за экзамен будет снижена на балл.
-
В программе курса предусмотрена письменная контрольная работа. Успешное написание контрольной работы является обязательным условием допуска к экзамену по курсу. При отсутствии допуска студент пишет контрольную работу на экзамене и, в случае успеха, сдает экзамен на первой пересдаче. При написании контрольной работы разрешается пользоваться любыми бумажными материалами, а также калькуляторами. Использование электронных устройств (кроме калькуляторов) запрещено.
+
Вопросы по заданию можно направлять письмом по адресу ''bayesml@gmail.com''. В название письма обязательно добавлять тег [ВМК ПА18].
-
[[Media:AA3-tasks.pdf| Задачи для подготовки к контрольной]]
+
[[Media:AA3_2018_assignment.pdf|Формулировка задания]]
-
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1uVhuAJAxJPLGXvDPHe9mwT-2Mob68EECuT_CBRqyzO8/edit?usp=sharing Результаты контрольной]
+
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Y5w8SvOwq4yeCmHCpk657rJy6DkmPqiCq48MPBaSUr4/edit?usp=sharing Результаты проверки задания]
 +
-->
== Экзамен ==
== Экзамен ==
 +
Консультации к экзамену состоятся 6 января в 14-00 и 10 января в 12-00. [https://zoom.us/j/94903294013?pwd=VXR0RlZ0MGdVdTlZSGVQOFNVakNLUT09 Зум-ссылка].
-
К экзамену допускаются только студенты, успешно написавшие контрольную работу. На экзамене при подготовке билета разрешается пользоваться любыми материалами (в том числе с электронных устройств). При ответе экзаменатору ничем пользоваться нельзя. Просьба обратить особое внимание на теоретический минимум. Незнание ответа на '''любой''' из вопросов теоретического минимума влечёт за собой неудовлетворительную оценку по экзамену.
+
Все студенты, сдающие экзамен, заранее распределяются по конкретному дню/времени сдачи. Для участия в экзамене необходимо [https://classroom.google.com/c/MjEyMzM3ODI1MDM4?cjc=r6omfqi добавиться] в курс на классруме. За час до запланированного времени сдачи студент через классрум получает номер экзаменационного вопроса, а также зум-ссылку. В течение этого часа студент самостоятельно пишет ответ на экзаменационный вопрос. При этом разрешается пользоваться любыми материалами. Далее в указанное время студент подключается по зум-ссылке и сдаёт устный экзамен экзаменатору. При ответе экзаменатору со стороны студента должна быть обеспечена возможность интерактивного написания формул. Здесь можно использовать графический планшет или установить мобильный телефон в качестве выносной веб-камеры, закрепить его над столом и далее писать ручкой на бумаге. Опрос по курсу начинается с вопросов теоретического минимума. На эти вопросы студент должен готов отвечать без подготовки. Неудовлетворительный ответ на вопросы теор.минимума влечёт неудовлетворительную оценку за экзамен.
-
[[Media:AA3-exam-questions.pdf| Вопросы к экзамену]]
+
[[Media:AA3-2020-exam-questions.pdf|Вопросы к экзамену]]
-
[[Media:AA3-exam-theormin.pdf| Теоретический минимум]]
+
[[Media:AA3-2020-theormin.pdf|Теоретический минимум]]
-
 
+
-
[[Media:AA3_Polya_problems.pdf| Задачи по теории Пойя]]
+
== Материалы ==
== Материалы ==
 +
[[Media:AA3-2020.pdf|Конспект лекций]]
-
[[Media:AA3-0.pdf| Группы, кольца (напоминание)]] {{важно|(обновлено 09.12.)}}
+
== Программа курса ==
-
[[Media:AA3-1(GF-I).pdf| Конечные поля (часть 1)]] {{важно|(обновлено 09.12.)}}
+
=== Группы, кольца, поля ===
 +
# Группы
 +
# Кольца и поля
 +
# Векторные пространства, гомоморфизмы, сравнения
-
[[Media:AA3-1(GF-II).pdf| Конечные поля (часть 2)]] {{важно|(обновлено 09.12.)}}
+
=== Конечные кольца и поля ===
-
 
+
# Поля Галуа
-
[[Media:AA3-2(ECC).pdf| Коды, исправляющие ошибки]] {{важно|(обновлено 09.12.)}}
+
# Вычисления в конечных кольцах и полях
-
 
+
# Алгебра векторов над конечным полем
-
[[Media:AA3-3(PET).pdf| Теория перечисления Пойя]]
+
-
 
+
-
[[Media:AA3-4(Posets).pdf| Частично упорядоченные множества]]
+
-
 
+
-
[[Media:AA3-5(Lattice).pdf| Алгебраические решётки]]
+
-
 
+
-
== Программа курса ==
+
-
 
+
-
=== Конечные поля (поля Галуа) ===
+
-
# Группы и кольца (напоминание)
+
-
# Поле вычетов по модулю простого числа
+
-
# Вычисление элементов в конечных полях
+
-
# Линейная алгебра над конечным полем
+
# Корни многочленов над конечным полем
# Корни многочленов над конечным полем
-
# Существование и единственность поля Галуа из <tex>p^n</tex> элементов
+
# Циклические подпространства колец вычетов
-
# Циклические подпространства
+
-
# Решение задач
+
=== Коды, исправляющие ошибки ===
=== Коды, исправляющие ошибки ===
-
# Помехоустойчивое кодирование, блоковое кодирование, коды Хэмминга
+
# Блоковое кодирование: основные понятия
-
# Групповые (линейные) коды
+
# Линейные коды
 +
# Синдромное декодирование линейных кодов
# Циклические коды
# Циклические коды
# Коды БЧХ
# Коды БЧХ
-
# Решение задач
+
# Декодирование кодов БЧХ
-
 
+
-
=== Теория перечисления Пойя ===
+
-
# Действие группы на множестве
+
-
# Применение леммы Бернсайда для решения комбинаторных задач
+
-
# Применение теоремы Пойя для решения комбинаторных задач
+
-
=== Некоторые вопросы теории частично упорядоченных множеств ===
+
=== Алгебраические основы криптографии ===
-
# Основные понятия теории ч.у. множеств
+
# Основные понятия
-
# Операции над ч.у. множествами
+
# Система шифрования RSA
-
# Линеаризация
+
# Факторизация натуральных чисел
-
# Модели Крипке
+
# Дискретное логарифмирование
-
# Решение задач
+
# Криптосистемы МакЭлиса и Нидеррайтера
-
=== Алгебраические решётки ===
+
=== Начала эллиптической криптографии ===
-
# Решётки: определения, основные свойства
+
# Эллиптические кривые: введение
-
# Модулярные и дистрибутивные решётки
+
# Основные понятия
-
# Применение теории решёток к задаче классификации
+
# Эллиптические кривые в конечных полях
 +
# Криптосистемы на эллиптических кривых
== Литература ==
== Литература ==
-
# Воронин В.П. [http://padabum.com/d.php?id=10281 Дополнительные главы дискретной математики], ф-т ВМК, 2002.
+
# Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. [http://vyalyy.narod.ru/da2-090419.pdf Дискретный анализ. Основы высшей алгебры.] М.: МЗ Пресс, 2007.
-
# Гуров С.И. [http://istina.msu.ru/publications/book/641802/ Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: определения, свойства, примеры.] Либроком, 2013.
+
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. [http://www.twirpx.com/file/34003/ Конечные поля: В 2-х т.] М.: Мир, 1988.
-
# Журавлев Ю.И., Флеров Ю.А., Вялый М.Н. [http://vyalyy.narod.ru/da2-090419.pdf Дискретный анализ. Основы высшей алгебры.] М3-Пресс, 2007.
+
# Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2006.
-
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. [http://www.twirpx.com/file/34003/ Конечные поля: в 2-х т.] Мир, 1988.
+
# Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
-
# Нефедов В.Н., Осипова В.А. [http://www.twirpx.com/file/391140/ Курс дискретной математики], МАИ, 1992.
+
# Токарева Н. Н. Симметричная криптография. Краткий курс: учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012.
-
# Ромащенко А.Е., Румянцев А.Ю., Шень А. [ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/coding.pdf Заметки по теории кодирования.] МЦНМО, 2011.
+
# Применко Э. А. Алгебраические основы криптографии: Учебное пособие. - М.: Книжный дом «Либроком», 2014.
-
# Lin S., Costello D. [http://www.twirpx.com/file/622076/ Error Control Coding Fundamentals and Applications.] Prentice-Hall, 1983.
+
== См. также ==
== См. также ==

Текущая версия

Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля) и её приложениям в кодировании и шифровании.

Лектор: Гуров Сергей Исаевич

Ассистенты: Кропотов Дмитрий, Варламова Арина, Добролюбова Ольга

Свои вопросы по курсу можно задавать в телеграм-чате.

В осеннем семестре 2020/2021 уч. г. занятия проходят в дистанционном режиме по понедельникам, начало в 12-50.

Видеозаписи отдельных занятий: ссылка


Экзамен

Консультации к экзамену состоятся 6 января в 14-00 и 10 января в 12-00. Зум-ссылка.

Все студенты, сдающие экзамен, заранее распределяются по конкретному дню/времени сдачи. Для участия в экзамене необходимо добавиться в курс на классруме. За час до запланированного времени сдачи студент через классрум получает номер экзаменационного вопроса, а также зум-ссылку. В течение этого часа студент самостоятельно пишет ответ на экзаменационный вопрос. При этом разрешается пользоваться любыми материалами. Далее в указанное время студент подключается по зум-ссылке и сдаёт устный экзамен экзаменатору. При ответе экзаменатору со стороны студента должна быть обеспечена возможность интерактивного написания формул. Здесь можно использовать графический планшет или установить мобильный телефон в качестве выносной веб-камеры, закрепить его над столом и далее писать ручкой на бумаге. Опрос по курсу начинается с вопросов теоретического минимума. На эти вопросы студент должен готов отвечать без подготовки. Неудовлетворительный ответ на вопросы теор.минимума влечёт неудовлетворительную оценку за экзамен.

Вопросы к экзамену

Теоретический минимум

Материалы

Конспект лекций

Программа курса

Группы, кольца, поля

  1. Группы
  2. Кольца и поля
  3. Векторные пространства, гомоморфизмы, сравнения

Конечные кольца и поля

  1. Поля Галуа
  2. Вычисления в конечных кольцах и полях
  3. Алгебра векторов над конечным полем
  4. Корни многочленов над конечным полем
  5. Циклические подпространства колец вычетов

Коды, исправляющие ошибки

  1. Блоковое кодирование: основные понятия
  2. Линейные коды
  3. Синдромное декодирование линейных кодов
  4. Циклические коды
  5. Коды БЧХ
  6. Декодирование кодов БЧХ

Алгебраические основы криптографии

  1. Основные понятия
  2. Система шифрования RSA
  3. Факторизация натуральных чисел
  4. Дискретное логарифмирование
  5. Криптосистемы МакЭлиса и Нидеррайтера

Начала эллиптической криптографии

  1. Эллиптические кривые: введение
  2. Основные понятия
  3. Эллиптические кривые в конечных полях
  4. Криптосистемы на эллиптических кривых

Литература

  1. Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. М.: МЗ Пресс, 2007.
  2. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. М.: Мир, 1988.
  3. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2006.
  4. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
  5. Токарева Н. Н. Симметричная криптография. Краткий курс: учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012.
  6. Применко Э. А. Алгебраические основы криптографии: Учебное пособие. - М.: Книжный дом «Либроком», 2014.

См. также

Страница кафедры математических методов прогнозирования ВМК МГУ

Курс «Прикладная алгебра» для студентов ММП

Личные инструменты