Прикладная алгебра (курс лекций, С.И. Гуров)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(+ полные слайды)
 
(125 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
__NOTOC__
__NOTOC__
 +
Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля) и её приложениям в кодировании и шифровании.
-
{{notice|Внимание! В ближайший понедельник, 16 декабря, во время лекции пройдет занятие-показ работ, посвященное разбору контрольной работы. На занятие особенно приглашаются студенты, не имеющие на текущий момент допуск к экзамену.}}
+
Лектор: [[Участник:Sgur|Гуров Сергей Исаевич]]
-
Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля, частично-упорядоченные множества) и её приложениям в кодировании и комбинаторике.
+
Ассистенты: [[Участник:Kropotov|Кропотов Дмитрий]], Варламова Арина, Добролюбова Ольга
-
Лектор: [[Участник:Sgur|Гуров Сергей Исаевич]]
+
Свои вопросы по курсу можно задавать в [https://t.me/joinchat/FIB6dhRLLmm2tsiEIl_ayw телеграм-чате].
-
Ассистент: [[Участник:Kropotov|Кропотов Д.А.]]
+
В осеннем семестре 2020/2021 уч. г. занятия проходят в дистанционном режиме по понедельникам, начало в 12-50.
-
Свои вопросы по курсу и пожелания можно оставлять на вкладке «Обсуждение» к этой странице или направлять письмом по адресу ''bayesml@gmail.com'', в название письма просьба добавлять [ПА13]
+
Видеозаписи отдельных занятий: [https://www.youtube.com/playlist?list=PLVF5PzSHILHQ4YmzPn2eYBUrZina5OrS_ ссылка]
-
В осеннем семестре 2013/2014 уч. г. занятия проходят на ВМК по понедельникам в ауд. П8, начало в 8-45.
+
<!--
 +
== Практическое задание ==
-
== Контрольная работа ==
+
Студенты, успешно справившиеся с контрольной работой, могут выполнить практическое задание в качестве альтернативы сдачи экзамена по курсу. Задание выполняется на языке python 3. Срок сдачи: 31 декабря, 23:59. За выполнение этого задания можно получить оценку 5, 4 или 0. В случае получения оценки 4 за задание можно сдавать устный экзамен по курсу по обычной схеме. В случае выявления плагиата в коде задания для всех участвующих студентов оценка за задание будет аннулирована, а оценка за экзамен будет снижена на балл.
-
В программе курса предусмотрена письменная контрольная работа. Успешное написание контрольной работы является обязательным условием допуска к экзамену по курсу. При отсутствии допуска студент пишет контрольную работу на экзамене и, в случае успеха, сдает экзамен на первой пересдаче. При написании контрольной работы разрешается пользоваться любыми бумажными материалами, а также калькуляторами. Использование электронных устройств (кроме калькуляторов) запрещено.
+
Вопросы по заданию можно направлять письмом по адресу ''bayesml@gmail.com''. В название письма обязательно добавлять тег [ВМК ПА18].
-
[[Media:PA_zadachi.pdf|Задачи для подготовки к контрольной (pdf)]]
+
[[Media:AA3_2018_assignment.pdf|Формулировка задания]]
-
[[Media:PA_razbor.pdf|Разбор решений задач контрольной (pdf)]]
+
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Y5w8SvOwq4yeCmHCpk657rJy6DkmPqiCq48MPBaSUr4/edit?usp=sharing Результаты проверки задания]
 +
-->
-
[https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AjJRWGauOsXTdGxycFlTcG5sZVdLX2E3SUxOc25lWWc&usp=sharing Результаты контрольной]
+
== Экзамен ==
 +
Консультации к экзамену состоятся 6 января в 14-00 и 10 января в 12-00. [https://zoom.us/j/94903294013?pwd=VXR0RlZ0MGdVdTlZSGVQOFNVakNLUT09 Зум-ссылка].
-
== Материалы ==
+
Все студенты, сдающие экзамен, заранее распределяются по конкретному дню/времени сдачи. Для участия в экзамене необходимо [https://classroom.google.com/c/MjEyMzM3ODI1MDM4?cjc=r6omfqi добавиться] в курс на классруме. За час до запланированного времени сдачи студент через классрум получает номер экзаменационного вопроса, а также зум-ссылку. В течение этого часа студент самостоятельно пишет ответ на экзаменационный вопрос. При этом разрешается пользоваться любыми материалами. Далее в указанное время студент подключается по зум-ссылке и сдаёт устный экзамен экзаменатору. При ответе экзаменатору со стороны студента должна быть обеспечена возможность интерактивного написания формул. Здесь можно использовать графический планшет или установить мобильный телефон в качестве выносной веб-камеры, закрепить его над столом и далее писать ручкой на бумаге. Опрос по курсу начинается с вопросов теоретического минимума. На эти вопросы студент должен готов отвечать без подготовки. Неудовлетворительный ответ на вопросы теор.минимума влечёт неудовлетворительную оценку за экзамен.
-
[[Media:PA_full.pdf|Слайды по всему курсу (pdf)]]
+
-
[[Media:PA_coding_algorithms.pdf|Алгоритмы кодирования/декодирования с примерами (pdf)]]
+
[[Media:AA3-2020-exam-questions.pdf|Вопросы к экзамену]]
 +
 
 +
[[Media:AA3-2020-theormin.pdf|Теоретический минимум]]
 +
 
 +
== Материалы ==
 +
[[Media:AA3-2020.pdf|Конспект лекций]]
== Программа курса ==
== Программа курса ==
-
=== Конечные поля ===
+
=== Группы, кольца, поля ===
-
# Поля вычетов по модулю простого числа
+
# Группы
-
# Линейная алгебра над конечным полем
+
# Кольца и поля
 +
# Векторные пространства, гомоморфизмы, сравнения
 +
 
 +
=== Конечные кольца и поля ===
 +
# Поля Галуа
 +
# Вычисления в конечных кольцах и полях
 +
# Алгебра векторов над конечным полем
# Корни многочленов над конечным полем
# Корни многочленов над конечным полем
-
# Существование и единственность поля Галуа из <tex>p^n</tex> элементов
+
# Циклические подпространства колец вычетов
-
# Расширенный алгоритм Евклида для поиска обратного элемента в конечном поле
+
-
# Циклические подпространства
+
-
# Решение задач
+
=== Коды, исправляющие ошибки ===
=== Коды, исправляющие ошибки ===
-
# Основная задача теории кодирования
+
# Блоковое кодирование: основные понятия
 +
# Линейные коды
 +
# Синдромное декодирование линейных кодов
# Циклические коды
# Циклические коды
# Коды БЧХ
# Коды БЧХ
-
# Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов
+
# Декодирование кодов БЧХ
-
 
+
-
=== Теория перечисления Пойя ===
+
-
# Действие группы на множестве
+
-
# Применение леммы Бернсайда для решения комбинаторных задач
+
-
# Применение теоремы Пойя для решения комбинаторных задач
+
-
=== Некоторые вопросы теории частично упорядоченных множеств ===
+
=== Алгебраические основы криптографии ===
-
# Основные понятия теории ч.у. множеств
+
# Основные понятия
-
# Операции над ч.у. множествами
+
# Система шифрования RSA
-
# Линеаризация
+
# Факторизация натуральных чисел
 +
# Дискретное логарифмирование
 +
# Криптосистемы МакЭлиса и Нидеррайтера
-
=== Алгебраические решетки ===
+
=== Начала эллиптической криптографии ===
-
# Решетки: определения, основные свойства
+
# Эллиптические кривые: введение
-
# Модулярные и дистрибутивные решетки
+
# Основные понятия
-
# Применение теории решеток к задаче классификации
+
# Эллиптические кривые в конечных полях
 +
# Криптосистемы на эллиптических кривых
== Литература ==
== Литература ==
-
# Воронин В.П. [http://padabum.com/d.php?id=10281 Дополнительные главы дискретной математики], ф-т ВМК, 2002.
+
# Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. [http://vyalyy.narod.ru/da2-090419.pdf Дискретный анализ. Основы высшей алгебры.] М.: МЗ Пресс, 2007.
-
# Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: определения, свойства, примеры. Либроком, 2013.
+
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. [http://www.twirpx.com/file/34003/ Конечные поля: В 2-х т.] М.: Мир, 1988.
-
# Журавлев Ю.И., Флеров Ю.А., Вялый М.Н. [http://vyalyy.narod.ru/da2-090419.pdf Дискретный анализ. Основы высшей алгебры.] М3-Пресс, 2007.
+
# Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2006.
-
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. [http://www.twirpx.com/file/34003/ Конечные поля: в 2-х т.] Мир, 1988.
+
# Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
-
# Нефедов В.Н., Осипова В.А. [http://www.twirpx.com/file/391140/ Курс дискретной математики], МАИ, 1992.
+
# Токарева Н. Н. Симметричная криптография. Краткий курс: учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012.
-
# Ромащенко А.Е., Румянцев А.Ю., Шень А. [ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/coding.pdf Заметки по теории кодирования.] МЦНМО, 2011.
+
# Применко Э. А. Алгебраические основы криптографии: Учебное пособие. - М.: Книжный дом «Либроком», 2014.
-
# Lin S., Costello D. [http://www.twirpx.com/file/622076/ Error Control Coding Fundamentals and Applications.] Prentice-Hall, 1983.
+
== См. также ==
== См. также ==

Текущая версия

Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля) и её приложениям в кодировании и шифровании.

Лектор: Гуров Сергей Исаевич

Ассистенты: Кропотов Дмитрий, Варламова Арина, Добролюбова Ольга

Свои вопросы по курсу можно задавать в телеграм-чате.

В осеннем семестре 2020/2021 уч. г. занятия проходят в дистанционном режиме по понедельникам, начало в 12-50.

Видеозаписи отдельных занятий: ссылка


Экзамен

Консультации к экзамену состоятся 6 января в 14-00 и 10 января в 12-00. Зум-ссылка.

Все студенты, сдающие экзамен, заранее распределяются по конкретному дню/времени сдачи. Для участия в экзамене необходимо добавиться в курс на классруме. За час до запланированного времени сдачи студент через классрум получает номер экзаменационного вопроса, а также зум-ссылку. В течение этого часа студент самостоятельно пишет ответ на экзаменационный вопрос. При этом разрешается пользоваться любыми материалами. Далее в указанное время студент подключается по зум-ссылке и сдаёт устный экзамен экзаменатору. При ответе экзаменатору со стороны студента должна быть обеспечена возможность интерактивного написания формул. Здесь можно использовать графический планшет или установить мобильный телефон в качестве выносной веб-камеры, закрепить его над столом и далее писать ручкой на бумаге. Опрос по курсу начинается с вопросов теоретического минимума. На эти вопросы студент должен готов отвечать без подготовки. Неудовлетворительный ответ на вопросы теор.минимума влечёт неудовлетворительную оценку за экзамен.

Вопросы к экзамену

Теоретический минимум

Материалы

Конспект лекций

Программа курса

Группы, кольца, поля

  1. Группы
  2. Кольца и поля
  3. Векторные пространства, гомоморфизмы, сравнения

Конечные кольца и поля

  1. Поля Галуа
  2. Вычисления в конечных кольцах и полях
  3. Алгебра векторов над конечным полем
  4. Корни многочленов над конечным полем
  5. Циклические подпространства колец вычетов

Коды, исправляющие ошибки

  1. Блоковое кодирование: основные понятия
  2. Линейные коды
  3. Синдромное декодирование линейных кодов
  4. Циклические коды
  5. Коды БЧХ
  6. Декодирование кодов БЧХ

Алгебраические основы криптографии

  1. Основные понятия
  2. Система шифрования RSA
  3. Факторизация натуральных чисел
  4. Дискретное логарифмирование
  5. Криптосистемы МакЭлиса и Нидеррайтера

Начала эллиптической криптографии

  1. Эллиптические кривые: введение
  2. Основные понятия
  3. Эллиптические кривые в конечных полях
  4. Криптосистемы на эллиптических кривых

Литература

  1. Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. М.: МЗ Пресс, 2007.
  2. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. М.: Мир, 1988.
  3. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2006.
  4. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
  5. Токарева Н. Н. Симметричная криптография. Краткий курс: учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012.
  6. Применко Э. А. Алгебраические основы криптографии: Учебное пособие. - М.: Книжный дом «Либроком», 2014.

См. также

Страница кафедры математических методов прогнозирования ВМК МГУ

Курс «Прикладная алгебра» для студентов ММП

Источник — «http://recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%2C_%D0%A1.%D0%98._%D0%93%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%B2%29»
Личные инструменты